خانم رستگاری
اثبات منطقی یک رویکرد پرداختن به مسائل ریاضی و هندسه است و موجبات تشکیل یک بنای ریاضی قابل اعتماد و مستند را با اصول و تعاریف و قضایای مشخص ایجاد میکند.
اما نکته در اینجاست که وظیفه ما ساخت این بنا نیست. یادگیری این بنا است. در یادگیری ممکن است لزوماً محفوظات در کار نباشند. ممکن است در جایی نیاز به تجریه کردن داشته باشیم و ممکن است لازم باشد روی یک مسئله با اینکه میدانیم و اثبات منطقی کردهایم که درست است ساعتها از روی کنجکاوی به بررسی و تحقیق بپردازیم. آنان که به علم هندسه ارادت دارند، بی شک در خاطرات خود از حل مسئلهای زیبا و یا یافتن پاسخ بعد از کوششی فراوان در شرایطی که انتظارش را ندارند سخن میگویند. و این اتفاق آنها را به در مورد این رشته علمی از خود بی خود کرد. و این گونه ادراکات زمانی اتفاق میافتد که زمینه ایجاد آن را در بستری امن فراهم آوریم.
نرم افزارهای های هندسه پویا محیطی با قابلیتهای فراوان و کارآمد برای ما فراهم آورده اند تا مسئله هایی را که ژیش از این حل شده اند را با کنجکاوی خود دوباره بررسی کنیم و از ابعاد متعدد دیگر باز بینی کنیم.
مدلی برای مراحل یادگیری
1- مشاهده: دانش آموزان مشاهدات خود را از مواد اوليه ، احاطه شده در زمينه طبيعيشان يا شبيه سازي هاي مربوط به آن را مي سازيم.
2- ساخت تفسير: دانش آموزان مشاهداتشان را تفسير و دلايلشان را توضيح مي دهند.
3- زمينه يابي: دانش آموزان زمينه اي را براي توضيح هايشان مي سازند.
4- شناخت نوآموزان: معلمان به دانش آموزان نوآموز كمك مي كنند كه در مشاهده و تفسير و زمينه يابي مسلط شوند.
5- مشاركت: دانش آموزان در مشاهدات تفسير و زمينه يابي با هم مشاركت مي كنند.
6- تفسير هاي چند گانه: دانش آموزان مي توانند به سهولت دانش خود را از طريق تفسير هاي چند گانه از دانش آموزان ديگر و يا مثال هايي از متخصصين بدست بياورند.
7- اظهارات چند گانه: دانش آموزان دانش قابل انتقالي را از طريق اظهارات چند گانه اي از همان تفسيرها بدست بياورند.
این مدل توسط رابرت .او و مك كلتناك و جان . بي بلك ارائه داده شده است.
کاریری های تجربی در استفاده از هندسه پویا
1. استفاده از برنامههای هندسهی پویا در مقطع راهنمایی به پائین آوردن سطح هندسه مبتنی بر فرضیههای استنتاجی شتاب خواهد بخشید. (ولی آنرا کاملاً فر نمیریزد.)
2. قابلیتهای جدیدی برای انجام فعالیتهای تجربهای و اکتشافی وجود دارد. مثالهای زیاد به خوبی موارد ويژه با سرعت کاملاً زیاد میتواند ایجاد و به تصویر کشیده شود.
3. بسیاری از استدلالهای کلاسیک در حالت ترسیمی میتواند به تصویر کشیده شود.
4. از این طریق استفاده از کامپیوتر در اثباتها پیش قدم میشود. ولی بیشتر به شکل دلایل توجیهی خواهد بود تا استدلالهای رسمی.
5. آزمونهای اتفاقی کافی نیست. ارائه دانش دربارهی استفاده از برنامهها و دستورالعملهای آموزشی توسط معلمین ضروری است. در غیر این صورت تجربههای آموزشی تنها آزمونهای کور محسوب خواهند شد.
6. دستورالعملهای آموزشی ویژه دانشآموزان ضروری است برای ایجاد شکلهای مورد نظر حالت کشیدن صحیح ترسیمات و تجربه پدیدهی مشاهده شده برای تبدیل بینش ایجاد شده به جملات ساخته شده صحیح لازم است.
۷. دستورالعملهای آموزشی ویژه معلمین نیز برای توانمند کردن معلمین به استفاده از این ابزار و هدایت دانش آموزان به اکتشاف های کنترل شده ضروری است.
۸. برنامه های هندسه پویا تاکید را تغییر خواهند داد و جای خود را به عنوان ابزاری خ.اهد بود که اهداف گذشته را بهتر آموزش دهند.
هندسه اقلیدسی
هندسهٔ اقلیدسی به مجموعهٔ گزارههایِ هندسیای اطلاق میشود که به بررسی موجودات ریاضیاتی مثل نقطه و خط میپردازد و بر پایههائی که اقلیدس ریاضیدان یونانی در کتاب خود بهنام اصول عرضه کرده، بنا شدهاست. این قضایایِ هندسی عمدتاً توسطِ یونانیانِ باستان کشف و توسطِ اقلیدسِ اسکندرانی گردآوری شدهاند و بخش بزرگی از آن همان است که در دبیرستانها تدریس میشود. کتابِ «اصولِ» اقلیدس یکی از بزرگترین و تأثیرگذارترین کتابها چه بلحاظِ محتوا و چه از نظرِ روشِ اصلِ موضوعهایاش بودهاست. تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن میرفت منظور هندسه اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو بعد را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» مینامند. این مفاهیم را به ابعاد بالاتر از سه نیز میتوان تعمیم داد و همچنان آن را هندسه اقلیدسی نامید.
تاریخچه
در حدود ۳۰۱ سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرنها منسجمترین بنیادهای نظری بشر محسوب میشود. روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آنها بسیار دور از ذهن بودند.
اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان گرد آورد و به مدت دو هزار سال مرجعی بیبدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن ریاضیات محض میگوییم. محض از این نظر که با اندیشهٔ محض سر و کار دارد و از راه آزمون خطا و تجربه به دست نمیآید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمیتوان اثبات یا نفی کرد. برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:
- شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
- شرط دوم: توافق بر اینکه کی و چگونه حکمی «به طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه میشود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.
کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بینیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دستچین کرد، و از آنها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.
اصول موضوعه
تمامِ هندسهٔ اقلیدسی (تمامِ قضیههایی که در دبیرستان میخوانیم، قضیهٔ فیثاغورس و غیره) میتوانند از پنج اصلِ موضوعهٔ زیر استخراج شوند:
1. از هر دو نقطه یک خطِ راست میگذرد.
2. هر پارهخط را میتوان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.
3. با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پارهخط به عنوانِ شعاع میتوان یک دایره رسم نمود.
4. همهٔ زوایایِ قائمه با هم برابر اند.
5. اگر یک خط دو خطِ دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمعِ زوایایِ داخلیِ تولید شده توسطِ خطِ مورب کمتر از دو قائمهاست به هم میرسند (خود یا امتدادشان).
برایِ بیانِ این اصولِ موضوعه به مفاهیمی مانندِ نقطه و خط نیاز داریم. همانطور که باید چند گزاره را بدونِ اثبات بپذیریم تا بقیهٔ گزارهها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدونِ تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «تعریفنشدهها» میگویند. همانطور که دیده میشود اصولِ هندسهٔ اقلیدسی به جز اصلِ پنجم بسیار ساده و بدیهی به نظر میآیند. به همیندلیل از زمانِ اقلیدس ریاضیدانانِ بیشماری در شرق و غرب (منجمله خیام ریاضیدانِ ایرانی) تلاش کردهاند اصلِ آزاردهندهٔ پنجم را به اثبات برسانند. این کار همواره شکست خوردهاست. سپس برخی ریاضیدانان تلاش نمودند خلافِ اصلِ پنجم را فرض کنند تا ببینند آیا هندسهای متناقض پدید میآید یا نه. از آنجا که هیچ تناقضی در هندسههایِ دارایِ اصلِ پنجمِ متفاوت دیده نشد به آنها نامِ هندسه نااقلیدسی را دادند. در نتیجه این مسأله مطرح گردید که تجربه کدام هندسه را تأیید میکند. نظریهٔ نسبیت عام به این پرسش پاسخ میدهد.
اصول متعارفی
1. دو مقدار مساوی بامقدار سوم با هم مساوی اند.
2. اگر به دو مقدار مساوی مقادیر مساوی اضافه کنیم، حاصل جمعها با هم مساوی اند.
3. اگر از دو مقدار مساوی مقادیر مساوی کم کنیم، باقیماندهها با هم مساوی اند.
4. دو چیز قابل انطباق با هم برابر اند.
5. کل از جزء بزرگتر است.
پس از اقلیدس
۲۱۰۰ سال پس از اقلیدس هندسهٔ او یگانه هندسهٔ موجود بود. با این وجود در طی این مدت طولانی ریاضیدانهای زیادی کوشیدند اصل پنجم را از روی سایر اصل اثبات کنند که این کوششها سرانجام به نتیجهٔ دیگری منجر شد و در اوایل قرن نوزدهم هندسههای جدیدی به وجود آمد که هندسههای نااقلیدسی نامیده میشود. هندسهای که تنها بر اساس چهار اصل اول اقلیدس ساخته میشود هندسه نتاری نامیده میشوند. دیوید هیلبرت در آخرین سال قرن نوزدهم (۱۸۹۹) کتاب «مبانی هندسه» خود را نوشت. هیلبرت در این کتاب صورتبندی دقیقتری از هندسهٔ اقلیدسی ارائه دارد.
تاريخچه هندسه
احتمالا بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان میکرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا میگرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین میبرد و لازم میشد دوباره هر کس زمین خود را اندازهگیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامتگذاری زمینها با تیرک و طناب را ابداع کردند. آنها تیرکی را در نقطهای مناسب در زمین فرو میکردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب میشد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص میساخت به یکدیگر متصل میشدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص میشد.
در آغاز هندسه برپایه دانستههای تجربی پراکندهای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم میشد. بعضی از این دانستهها بسیار پیشرفته بودند مثلا هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث میشناختند.
یونانیان دانستههای هندسی را مدون کردند و بر پایهای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه مهمترین دانشها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی میدانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه بهشمار میرود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را به صورت استدلالی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالا از شاگردان طالس بود توانست قضیهای را که بهنام او مشهور است اثبات کند. البته او واضع این قضیه نبود.
اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی میکرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آنها را به طور منظم، در یک مجموعه ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار میرفتند.
براساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان میگذشت، شاخههای دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه مییافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه میکنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (572-500 ق.م) و زنون (490 ق.م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلیها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست میداد و این قدیمیترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.
تقسیم بندی هندسه
هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم میگردد:
هنـدسه مسطحه
هندسه فضائی.
هندسه خطی.
در هندسه مسطح، اشکالی مورد مطالعه قرار میگیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعبها ،استوانه ها، مخروط ها، کرهها و غیره است
تهیه وتنظیم:الهام پریشانی ومحجوبه روح اللهی