خانم رستگاری
دو فرآیند تفکر در هندسه
تفکر در هندسه نیازمند دو فرآیند انتزاعی و شهودی است. در بسیاری از منابع نظری رشد شناختی تفکر شهودی و انتزاعی در دو حالت مجزا از تفکر محسوب میشوند. (سوان 1993) بعنوان مثال در نظریهی کلاسیک رشد شناختی پیاژه (1971) بین تفکر انتزاعیو تفکر رسمی تمایز قائل شده است.
دانشآموزان در تفکر شهودی میتوانند به حل مسائل ریاضی و منطقی بپردازند، اگر چه تفکر شهودی تنها مسائلی که در لحظهی حال وجود داشته باشد و اینکه بتوان از طریق انجام عملیات فیزیکی دستکاریهایی را در مسئله صورت دارد، را حل میکند. به عنوان مثال تفکر شهودی نمیتواند مسائل انتزاعی کلامی را حل کند. مثلاً اینکه علی از رضا بلندتر است و رضا از احمد. اینکه چه کسی از همه بلندتر است؟ اگر چه کودکان با در اختیار داشتن چند قطعه چوب در اندازهها و رنگهای مختلف مسائل اینچنینی را راحتتر حل میکنند. چوب قرمز بزرگتر از چوب زرد است. و چوب زرد از چوب آبی بزرگتر. کدام پوب بزرگتر است؟ در مقایسه میتوان گفت تفکر انتزاعی رسمی از حالتهای ذهنی سرچشمه میگیرد تا از کارکردنهای فیزیکی. در واقع مهارتهای حل مسئله که به تجارب شهودی بستگی ندارند.
لیو و کامینگز(1997) دو فرآیند تفکر که برای یادگیری هندسه و طی مراحل مدل ونهیل لازم است را توضیح دادهاند.
1) فرآیند تفکری از شهودی به انتزاعی (CA)
2) فرآیند تفکری از انتزاعی به شهودی (AC)
فرآیند CA با حس کردن اشیای ملموس توسط دانشآموز و با تجربههای جهان فیزیکی آغاز میشود. این تحریکات فیزیکی از طریق حواس دریافت میشود. و کیفیت خاص آن از طریق نظام احساسی درک میشود. انتهای این فرآیند به صورت یک فرمولبندی شخصی، ایدهها و یا قوانینی دربارهی چگونگی حس کردن و ایجاد مفاهیم انتزاعی در تجارب مشاهده شده خواهد بود.
فرآیند CA بیانگر فرآیند تفکر استدلال استقرایی است. که از یک حقیقت معین (جزء) به یک نتیجهگیری عمومی (کل) دربارهی مفاهیم، ایدهها و قوانین میرسیم. [مثلاً با اندازهگیری اقطار در چند مستطیل پی میبریم همواره در مستطیل اقطار با هم برابرند.] فرآیند CA تفکر دانشآموزان را با ایجاد تحریک انتقالی به گذراندن سه مراحل اول مدل ونهیل هدایت میکند. وقتی دانشآموز از طریق فرآیند شهودی به انتزاعی میاندیشد، تفکر او در مورد هندسه پیشرفت میکند و در نهایت به مرحلهی سوم ونهیل که مرحلهی رابطهای/ انتزاعی است میرسد. در این رابطه لیو و کامینگز (1997) بیان میکنند:
هنگاهی که دانشآموز در این مفاهیم رشد میکند، طرح هندسی خود را که کلیهی قواعد و روابطی که در این فرآیند یادگرفته است را گسترش داده است. و علاوه بر این با این پیشرفت وی خواهد توانست به راههای پیچیدهتری از هندسه نسبت به حالتی که قضایای هندسی را تنها حفظ کرده است، دست پیدا کند.
در طرح ونهیل، مرحلهی رابطهای/ انتزاعی بالاترین سطحی که کودک میتواند در هندسه تفکر کند نیست. وقتی که آنها به این مرحله میرسند، کودک آماده است به مراحل بالاتر یادگیری از طریق AC است نیز دست پیدا کند. بطوریکه به او اجرازه داده میشود که مفاهیم آموخته شدهی جدید را قبول کند.
فرآیند تفکر انتزاعی به شهودی AC حرکت سادهی معکوس شهودی به انتزاعی CA نیست. بلکه حالت بالاتری از تفکر است که بستگی به توانایی استدلال منطقی و انتزاعی دارد. البته فرآیند AC همچنین زمینه ساز یادگیری مفاهیم و قواعدی است که از یادگیری CA نشات میگیرد است. به عبارت دیگر تفکر انتزاعی برای اصول هندسی کافی نیست. هر کس باید بتواند این عبارت را بپذیرد.
به طور خلاصه، فرآیند شهودی – انتزاعی شامل تفکر هندسی از کودکان از دیدن تا مرحلهی رابطهای/ انتزاعی ونهیل میشود و هنگامی که آنها به این تفکر انتزاعی دست پیدا کردند. با پذیرش فرآیند تفکری انتزاعی- شهودی برای حل مسائل شهودی میپردازند.
فرآیند AC از طرفی تفکر استدلالی استنتاجی محسوب میشود. تفکر استنتاجی یک تفکر از کل به جزء است و در فرآیند حل مسئله عمل میکند.
نقش معلم در محیط های هندسه پویا
پژوهشگران نقش معلم را در گونههاي متفاوت توصيف كردهاند. همانطور كه گراوميجر (1989) توضيح ميدهد، فرودنتال نقش معلم را نوعي راهنما ميداند كه مسير يادگيري را به دانشآموزان نشان ميدهد. در اين نقش معلم اين امكان را فراهم ميكند كه دانشآموزان در مسير مشخصتري حركت كنند و مفاهيم رياضي را در ذهن خود بپرورانند. شونفلد (1989) نقش معلم را به عنوان يك قدرت فرض ميكند و پيشنهاد ميدهد كه فرآيند تشخيص و تاييد مطالب بايد در كلاس و مشاركت دانشآموزان صورت بگيرد. بال (1993)، چازان و بال (1999)، كلارك (1993) و كالينز، براون و نيومن (1989) نقش معلم را به عنوان تسهيلكننده فرآيند پرسش عنوان ميكند و معتقدند كه دانشآموزان بايد مشاركتي فعال داشته باشند.
در ميان همه اين عقايد همگي بر اين باورند كه معلم صرفاً انتقالدهنده علم نيست.
نقش معلم در مدل بروسیو
بروسیو (1997) در نظريه آموزشي خود دو نقش عمده براي معلمين رياضي ارائه ميدهد:
1. انتقال
2. نهادينه كردن
او در توصيف فعاليت يادگيري اظهار ميكند:
در خلال زماني كه مسئله را بررسي ميكند و جواب آن را ميدهد معلم از مداخله ميپرهيزد و مطالب مورد نظرش را به دانشآمو انتقال نميدهد… اين شرايط پيشنيازي براي شرايط گستردهتر است. در واقع معلم قصد دارد شرايط آموزشي را به دانشآموز منتقل كند. دانشآموز نيز مستقل ميشود و تعامل مفيدي پيدا ميكند (ص 30).
در مدل بروسیو مرحله پس از انتقال، نهادينه كردن نام دارد. در اين مرحله معلم مفهومها را از منظر خود با دانشآموزان سهيم ميشود. فرضيه بروسیو به تمايل طبيعي معلمين براي پيشرفت مهارتهايي كه به دانشآموزان كمك ميكند پر و بال ميدهد. در اين فرضيه معلم در مورد آنچه كه به دانشآموزان ميآموزد هدفمند است (ساترلند و بالاچف، ص 6).
کارکردهای اثبات از نطر دیویلیر
جان دی ویلیر از محققین و مولفین برجسته در هندسه پویا نظریات بساری در ارتباط با ارتباط اثبات در هندسه و یادگیری در محیط های هندسه پویا ارائه داده است.
از نظر وی اثبات کارکردهایی دارد که به ترتیب در زیر آمده است.
- تصدیق
در این مرحله معلم از دانش آموزان میخواهد گام به گام مسئله را شبیه سازی کنند و صحت عملکرد حکم از پیش تعیین شده را به شکل دینامیکی تصدیق کنند. - توضیح دادن
در این مرحله معلم از دانش آموزان میخواهد آنچه را که اتفاق افتاده است را توضیح دهند و سعی کنند آنرا توجیه کنند. - اکتشاف
در این مرحله از دانش آموز خواسته میشود با بررسی چند سوال به بررسی موقعیتهای جدید و کشف روابط جالب و اختصاصی پی ببرند و سعی در توجیه آن داشته باشند. - سازماندهی
معلم در این مرحله از دانش آموز میخواهد به سازمان دهی نتایج مختلف در یک ساختار استنتاجی از فرضیه ها، مفاهیم اصلی و نظریه ها بپردازد. - چالش هوشمندانه
حال معلم به ایجاد موقعیت های خاص که برای دانش آموز چالش برانگیز باشد، میپردازد. - برقراری ارتباط
در نهایت لازم است دانش آموز یافتههای خود را به شکلی مناسب در اختیار دیگران قرار دهد.
پدیده نحوه قرارگیری
در مطالعات صورت گرفته در زمينهی هندسهی ثابت، محققان با در نظر گرفتن خصوصيات اجسام هندسي گرايشي را مد نظر قرار ميدهند. اگر تعدادي مثلث بر روي صفحه كاغذ به دانشآموزان نشان داده شوند، اين احتمال وجود دارد كه آنها مثلث متساويالساقين را هنگامي كه قاعدهاش افقي قرار گيرد، بهتر تشخيص دهند همچنين تشخيص مثلث قائمالزاويه هنگامي كه رأس قائمه آن موازي با لبهی كاغذ قرار گيرند براي آنها آسانتر خواهد بود. (كلمنتس و بانيستا، 1992 ؛ يروشالمي و چازن، 1993).
هاسواگا (1997) اين يافتهها را تحت عنوان “پديدهی نحوهی قرار گیری” بيان کرد.
همزمان با فعاليت دانشآموزان در مدارس در درس هندسه، آنها از اشكال هندسي تصاويري ذهني را به عنوان مدل پایه تجسم ميكند. اين تصاوير غالباً قاطع نيستند (به مطالب مكوتيا، 1998 ؛ شيفتر ، 1999 نيز مراجعه فرماييد). به عنوان مثال ممكن است تصويری تك از مثلث متساويالساقين در يك كتاب درسي موجب ميشود دانشآموزان يك قانون كلي ترتيب دهند و تنها مثلثي را متساويالساقين بدانند كه قاعدهاش افقي قرار گيرد.
نرمافزارهاي هندسه پويا دارای امکاناتی جهت ايجاد تصاوير هندسي متحرک با اندازهها و جهتهاي متفاوت است. بدين جهت دانشآموزان تنها يك تصوير را متعلق به شكل هندسي خاصي نميدانند.
در یکی از این نرم افزارها به نام اسکچ پد دانشآموزان ميتوانند با حركت اشكال هندسي به هر مكاني كه ميخواهند، اشكال را در حالتهاي بيثبات لرزشی و حركتهاي مداوم در نظر بگيرند. به این ترتیب، درمييابيم كه قابليت حركت در این نوع نرمافزارها دانش آموزان را از تعميم ويژگيهاي اشكال ثابت به تمام اشكال هندسي مشابه باز می دارد.