اثبات منطقی یک رویکرد پرداختن به مسائل ریاضی و هندسه است و موجبات تشکیل یک بنای ریاضی قابل اعتماد و مستند را با اصول و تعاریف و قضایای مشخص ایجاد می­کند.

اما نکته در اینجاست که وظیفه ما ساخت این بنا نیست. یادگیری این بنا است. در یادگیری ممکن است لزوماً محفوظات در کار نباشند. ممکن است در جایی نیاز به تجریه کردن داشته باشیم و ممکن است لازم باشد روی یک مسئله با اینکه می­دانیم و اثبات منطقی کرده­ایم که درست است ساعت­ها از روی کنجکاوی به بررسی و تحقیق بپردازیم. آنان که به علم هندسه ارادت دارند، بی شک در خاطرات خود از حل مسئله­ای زیبا و یا یافتن پاسخ بعد از کوششی فراوان در شرایطی که انتظارش را ندارند سخن می­گویند. و این اتفاق آنها را به در مورد این رشته علمی از خود بی خود کرد. و این گونه ادراکات زمانی اتفاق می­افتد که زمینه ایجاد آن را در بستری امن فراهم آوریم.

نرم افزارهای های هندسه پویا محیطی با قابلیتهای فراوان و کارآمد برای ما فراهم آورده اند تا مسئله هایی را که ژیش از این حل شده اند را با کنجکاوی خود دوباره بررسی کنیم و از ابعاد متعدد دیگر باز بینی کنیم.

مدلی برای مراحل یادگیری

1- مشاهده: دانش آموزان مشاهدات خود را از مواد اوليه ، احاطه شده در زمينه طبيعيشان يا شبيه سازي هاي مربوط به آن را مي سازيم.

2- ساخت تفسير: دانش آموزان مشاهداتشان را تفسير و دلايلشان را توضيح مي دهند.

3- زمينه يابي: دانش آموزان زمينه اي را براي توضيح هايشان مي سازند.

4- شناخت نوآموزان: معلمان به دانش آموزان نوآموز كمك مي كنند كه در مشاهده و تفسير و زمينه يابي مسلط شوند.

5- مشاركت: دانش آموزان در مشاهدات تفسير و زمينه يابي با هم مشاركت مي كنند.

6- تفسير هاي چند گانه: دانش آموزان مي توانند به سهولت دانش خود را از طريق تفسير هاي چند گانه از دانش آموزان ديگر و يا مثال هايي از متخصصين بدست بياورند.

7- اظهارات چند گانه: دانش آموزان دانش قابل انتقالي را از طريق اظهارات چند گانه اي از همان تفسيرها بدست بياورند.

 این مدل توسط رابرت .او و مك كلتناك و جان . بي بلك ارائه داده شده است.

کاریری های تجربی در استفاده از هندسه پویا

1.    استفاده از برنامه­های هندسه­ی پویا در مقطع راهنمایی به پائین آوردن سطح هندسه مبتنی بر فرضیه­های استنتاجی شتاب خواهد بخشید. (ولی آنرا کاملاً فر نمیریزد.)

2.   قابلیتهای جدیدی برای انجام فعالیت­های تجربه­ای و اکتشافی وجود دارد. مثال­های زیاد به خوبی موارد ويژه با سرعت کاملاً زیاد می­تواند ایجاد و به تصویر کشیده شود.

3.       بسیاری از استدلال­های کلاسیک در حالت ترسیمی می­تواند به تصویر کشیده شود.

4.       از این طریق استفاده از کامپیوتر در اثبات­ها پیش قدم می­شود. ولی بیشتر به شکل دلایل توجیهی خواهد بود تا استدلال­های رسمی.

5.    آزمون­های اتفاقی کافی نیست. ارائه دانش درباره­ی استفاده از برنامه­ها و دستورالعمل­های آموزشی توسط معلمین ضروری است. در غیر این صورت تجربه­های آموزشی تنها آزمون­های کور محسوب خواهند شد.

6.     دستورالعمل­های آموزشی ویژه دانش­آموزان ضروری است برای ایجاد شکل­های مورد نظر حالت کشیدن صحیح ترسیمات و تجربه پدیده­ی مشاهده شده برای تبدیل بینش ایجاد شده به جملات ساخته شده صحیح لازم است.

۷. دستورالعمل­های آموزشی ویژه معلمین نیز برای توانمند کردن معلمین به استفاده از این ابزار و هدایت دانش آموزان به اکتشاف های کنترل شده ضروری است.

۸. برنامه های هندسه پویا تاکید را تغییر خواهند داد و جای خود را به عنوان ابزاری خ.اهد بود که اهداف گذشته را بهتر آموزش دهند.

 هندسه اقلیدسی

هندسهٔ اقلیدسی به مجموعهٔ گزاره‌هایِ هندسی‌ای اطلاق می‌شود که به بررسی موجودات ریاضیاتی مثل نقطه و خط می‌پردازد و بر پایه‌هائی که اقلیدس ریاضی‌دان یونانی در کتاب خود به‌نام اصول عرضه کرده، بنا شده‌است. این قضایایِ هندسی عمدتاً توسطِ یونانیانِ باستان کشف و توسطِ اقلیدسِ اسکندرانی گردآوری شده‌اند و بخش بزرگی از آن همان است که در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود. کتابِ «اصولِ» اقلیدس یکی از بزرگ‌ترین و تأثیرگذارترین کتاب‌ها چه بلحاظِ محتوا و چه از نظرِ روشِ اصلِ موضوعه‌ای‌اش بوده‌است. تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن می‌رفت منظور هندسه اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو بعد را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» می‌نامند. این مفاهیم را به ابعاد بالاتر از سه نیز می‌توان تعمیم داد و همچنان آن را هندسه اقلیدسی نامید.

تاریخچه

در حدود ۳۰۱ سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شود. روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آن‌ها بسیار دور از ذهن بودند.

اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان گرد آورد و به مدت دو هزار سال مرجعی بی‌بدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن ریاضیات محض می‌گوییم. محض از این نظر که با اندیشهٔ محض سر و کار دارد و از راه آزمون خطا و تجربه به دست نمی‌آید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمی‌توان اثبات یا نفی کرد. برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:

• شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
• شرط دوم: توافق بر این‌که کی و چگونه حکمی «به طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‌شود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.

کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‌نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دست‌چین کرد، و از آن‌ها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.

اصول موضوعه

تمامِ هندسهٔ اقلیدسی (تمامِ قضیه‌هایی که در دبیرستان می‌خوانیم، قضیهٔ فیثاغورس و غیره) می‌توانند از پنج اصلِ موضوعهٔ زیر استخراج شوند:

1. از هر دو نقطه یک خطِ راست می‌گذرد.

2. هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.

3. با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.

4. همهٔ زوایایِ قائمه با هم برابر اند.

5. اگر یک خط دو خطِ دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمعِ زوایایِ داخلیِ تولید شده توسطِ خطِ مورب کم‌تر از دو قائمه‌است به هم می‌رسند (خود یا امتدادشان).

برایِ بیانِ این اصولِ موضوعه به مفاهیمی مانندِ نقطه و خط نیاز داریم. همان‌طور که باید چند گزاره را بدونِ اثبات بپذیریم تا بقیهٔ گزاره‌ها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدونِ تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «تعریف‌نشده‌ها» می‌گویند. همان‌طور که دیده می‌شود اصولِ هندسهٔ اقلیدسی به جز اصلِ پنجم بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌آیند. به همین‌دلیل از زمانِ اقلیدس ریاضیدانانِ بیشماری در شرق و غرب (من‌جمله خیام ریاضیدانِ ایرانی) تلاش کرده‌اند اصلِ آزاردهندهٔ پنجم را به اثبات برسانند. این کار همواره شکست خورده‌است. سپس برخی ریاضیدانان تلاش نمودند خلافِ اصلِ پنجم را فرض کنند تا ببینند آیا هندسه‌ای متناقض پدید می‌آید یا نه. از آن‌جا که هیچ تناقضی در هندسه‌هایِ دارایِ اصلِ پنجمِ متفاوت دیده نشد به آن‌ها نامِ هندسه نااقلیدسی را دادند. در نتیجه این مسأله مطرح گردید که تجربه کدام هندسه را تأیید می‌کند. نظریهٔ نسبیت عام به این پرسش پاسخ می‌دهد.

اصول متعارفی

1. دو مقدار مساوی بامقدار سوم با هم مساوی اند.

2. اگر به دو مقدار مساوی مقادیر مساوی اضافه کنیم، حاصل جمع‌ها با هم مساوی اند.

3. اگر از دو مقدار مساوی مقادیر مساوی کم کنیم، باقیمانده‌ها با هم مساوی اند.

4. دو چیز قابل انطباق با هم برابر اند.

5. کل از جزء بزرگ‌تر است.

پس از اقلیدس

۲۱۰۰ سال پس از اقلیدس هندسهٔ او یگانه هندسهٔ موجود بود. با این وجود در طی این مدت طولانی ریاضی‌دان‌های زیادی کوشیدند اصل پنجم را از روی سایر اصل اثبات کنند که این کوشش‌ها سرانجام به نتیجهٔ دیگری منجر شد و در اوایل قرن نوزدهم هندسه‌های جدیدی به وجود آمد که هندسه‌های نااقلیدسی نامیده می‌شود. هندسه‌ای که تنها بر اساس چهار اصل اول اقلیدس ساخته می‌شود هندسه نتاری نامیده می‌شوند. دیوید هیلبرت در آخرین سال قرن نوزدهم (۱۸۹۹) کتاب «مبانی هندسه» خود را نوشت. هیلبرت در این کتاب صورت‌بندی دقیق‌تری از هندسهٔ اقلیدسی ارائه دارد.

تاريخچه هندسه

احتمالا بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌‌برد و لازم می‌‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب‌ را ابداع کردند. آنها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد.
در آغاز هندسه برپایه دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلا هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند.
یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را به صورت استدلالی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالا از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به‌نام او مشهور است اثبات کند. البته او واضع این قضیه نبود.

                 
اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌‌کرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آنها را به طور منظم، در یک مجموعه ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می‌‌رفتند.
براساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می‌‌گذشت، شاخه‌های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه می‌‌یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می‌‌کنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (572-500 ق.م) و زنون (490 ق.م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست می‌‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.
تقسیم بندی هندسه
هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌گردد:
هنـدسه مسطحه
هندسه فضائی.
هندسه خطی.
در هندسه مسطح، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب‌ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره‌ها و غیره است

تهیه وتنظیم:الهام پریشانی ومحجوبه روح اللهی

دو فرآیند تفکر در هندسه

تفکر در هندسه نیازمند دو فرآیند انتزاعی و شهودی است. در بسیاری از منابع نظری رشد شناختی تفکر شهودی و انتزاعی در دو حالت مجزا از تفکر محسوب می­شوند. (سوان 1993) بعنوان مثال در نظریه­ی کلاسیک رشد شناختی پیاژه (1971) بین تفکر انتزاعیو تفکر رسمی تمایز قائل شده است.

دانش­آموزان در تفکر شهودی می­توانند به حل مسائل ریاضی و منطقی بپردازند، اگر چه تفکر شهودی تنها مسائلی که در لحظه­ی حال وجود داشته باشد و اینکه بتوان از طریق انجام عملیات فیزیکی دستکاری­هایی را در مسئله صورت دارد، را حل می­کند. به عنوان مثال تفکر شهودی نمی­تواند مسائل انتزاعی کلامی را حل کند. مثلاً اینکه علی از رضا بلندتر است و رضا از احمد. اینکه چه کسی از همه بلندتر است؟ اگر چه کودکان با در اختیار داشتن چند قطعه چوب در اندازه­ها و رنگ­های مختلف مسائل این­چنینی را راحت­تر حل می­کنند. چوب قرمز بزرگ­تر از چوب زرد است. و چوب زرد از چوب آبی بزرگ­تر. کدام پوب بزرگ­تر است؟ در مقایسه می­توان گفت تفکر انتزاعی رسمی از حالت­های ذهنی سرچشمه می­گیرد تا از کارکردن­های فیزیکی. در واقع مهارتهای حل مسئله که به تجارب شهودی بستگی ندارند.

لیو و کامینگز(1997) دو فرآیند تفکر که برای یادگیری هندسه و طی مراحل مدل ون­هیل لازم است را توضیح داده­اند.

1)      فرآیند تفکری از شهودی به انتزاعی (CA)

2)      فرآیند تفکری از انتزاعی به شهودی (AC)

فرآیند CA با حس کردن اشیای ملموس توسط دانش­آموز و با تجربه­های جهان فیزیکی آغاز می­شود. این تحریکات فیزیکی از طریق حواس دریافت می­شود. و کیفیت خاص آن از طریق نظام احساسی درک می­شود. انتهای این فرآیند به صورت یک فرمول­بندی شخصی، ایده­ها و یا قوانینی درباره­ی چگونگی حس کردن و ایجاد مفاهیم انتزاعی در تجارب مشاهده شده خواهد بود.

فرآیند CA بیان­گر فرآیند تفکر استدلال استقرایی است. که از یک حقیقت معین (جزء) به یک نتیجه­گیری عمومی (کل) درباره­ی مفاهیم، ایده­ها و قوانین می­رسیم. [مثلاً با اندازه­گیری اقطار در چند مستطیل پی می­بریم همواره در مستطیل اقطار با هم برابرند.] فرآیند CA تفکر دانش­آموزان را با ایجاد تحریک انتقالی به گذراندن سه مراحل اول مدل ون­هیل هدایت می­کند. وقتی دانش­آموز از طریق فرآیند شهودی به انتزاعی می­اندیشد، تفکر او در مورد هندسه پیشرفت می­کند و در نهایت به مرحله­ی سوم ون­هیل که مرحله­ی رابطه­ای/ انتزاعی است می­رسد. در این رابطه لیو و کامینگز (1997) بیان می­کنند:

هنگاهی که دانش­آموز در این مفاهیم رشد می­کند، طرح هندسی خود را که کلیه­ی قواعد و روابطی که در این فرآیند یادگرفته است را گسترش داده است. و علاوه بر این با این پیشرفت وی خواهد توانست به راه­های پیچیده­تری از هندسه نسبت به حالتی که قضایای هندسی را تنها حفظ کرده است، دست پیدا کند.

در طرح ون­هیل، مرحله­ی رابطه­ای/ انتزاعی بالاترین سطحی که کودک می­تواند در هندسه تفکر کند نیست. وقتی که آن­ها به این مرحله می­رسند، کودک آماده است به مراحل بالاتر یادگیری از طریق AC است نیز دست پیدا کند. بطوریکه به او اجرازه داده می­شود که مفاهیم آموخته شده­ی جدید را قبول کند.

فرآیند تفکر انتزاعی به شهودی AC حرکت ساده­ی  معکوس شهودی به انتزاعی CA نیست. بلکه حالت بالاتری از تفکر است که بستگی به توانایی استدلال منطقی و انتزاعی دارد. البته فرآیند AC  همچنین زمینه ساز یادگیری مفاهیم و قواعدی است که از یادگیری CA نشات می­گیرد است. به عبارت دیگر تفکر انتزاعی برای اصول هندسی کافی نیست. هر کس باید بتواند این عبارت را بپذیرد.

به طور خلاصه، فرآیند شهودی – انتزاعی شامل تفکر هندسی از کودکان از دیدن تا مرحله­ی رابطه­ای/ انتزاعی ون­هیل می­شود و هنگامی که آنها به این تفکر انتزاعی دست پیدا کردند. با پذیرش فرآیند تفکری انتزاعی- شهودی برای حل مسائل شهودی می­پردازند.

فرآیند AC  از طرفی تفکر استدلالی استنتاجی محسوب می­شود. تفکر استنتاجی یک تفکر از کل به جزء است و در فرآیند حل مسئله عمل می­کند.

نقش معلم در محیط های هندسه پویا

پژوهشگران نقش معلم را در گونه‌هاي متفاوت توصيف كرده‌اند. همان‌طور كه گراوميجر (1989) توضيح مي‌دهد، فرودنتال نقش معلم را نوعي راهنما مي‌داند كه مسير يادگيري را به دانش‌آموزان نشان مي‌دهد. در اين نقش معلم اين امكان را فراهم مي‌كند كه دانش‌آموزان در مسير مشخص‌تري حركت كنند و مفاهيم رياضي را در ذهن خود بپرورانند. شونفلد (1989) نقش معلم را به عنوان يك قدرت فرض مي‌كند و پيشنهاد مي‌دهد كه فرآيند تشخيص و تاييد مطالب بايد در كلاس و مشاركت دانش‌آموزان صورت بگيرد. بال (1993)، چازان و بال (1999)، كلارك (1993) و كالينز، براون و نيومن (1989) نقش معلم را به عنوان تسهيل‌كننده فرآيند پرسش عنوان مي‌كند و معتقدند كه دانش‌آموزان بايد مشاركتي فعال داشته باشند.

در ميان همه اين عقايد همگي بر اين باورند كه معلم صرفاً انتقال‌دهنده علم نيست.

نقش معلم در مدل بروسیو

 بروسیو (1997) در نظريه آموزشي خود دو نقش عمده براي معلمين رياضي ارائه مي‌دهد:

1.       انتقال

2.       نهادينه كردن

او در توصيف فعاليت يادگيري اظهار مي‌كند:

در خلال زماني كه مسئله را بررسي مي‌كند و جواب آن را مي‌دهد معلم از مداخله مي‌پرهيزد و مطالب مورد نظرش را به دانش‌آمو انتقال نمي‌دهد… اين شرايط پيش‌نيازي براي شرايط گسترده‌تر است. در واقع معلم قصد دارد شرايط آموزشي را به دانش‌آموز منتقل كند. دانش‌آموز نيز مستقل مي‌شود و تعامل مفيدي پيدا مي‌كند (ص 30).

در مدل  بروسیو مرحله پس از انتقال، نهادينه كردن نام دارد. در اين مرحله معلم مفهوم‌ها را از منظر خود با دانش‌آموزان سهيم مي‌شود. فرضيه  بروسیو به تمايل طبيعي معلمين براي پيشرفت مهارت‌هايي كه به دانش‌آموزان كمك مي‌كند پر و بال مي‌دهد. در اين فرضيه معلم در مورد آنچه كه به دانش‌آموزان مي‌آموزد هدفمند است (ساترلند و بالاچف، ص 6).

 کارکردهای اثبات از نطر دی­ویلیر

جان دی ویلیر از محققین و مولفین برجسته در هندسه پویا نظریات بساری در ارتباط با ارتباط اثبات در هندسه و یادگیری در محیط های هندسه پویا ارائه داده است.

از نظر وی اثبات کارکردهایی دارد که به ترتیب در زیر آمده است.

1. تصدیق 
   در این مرحله معلم از دانش آموزان می­خواهد گام به گام مسئله را شبیه سازی کنند و صحت عملکرد حکم از پیش تعیین شده را به شکل دینامیکی تصدیق کنند.
2. توضیح دادن
   در این مرحله معلم از دانش آموزان می­خواهد آنچه را که اتفاق افتاده است را توضیح دهند و سعی کنند آنرا توجیه کنند.
3. اکتشاف
   در این مرحله از دانش آموز خواسته می­شود با بررسی چند سوال به بررسی موقعیتهای جدید و کشف روابط جالب و اختصاصی پی ببرند و سعی در توجیه آن داشته باشند.
4. سازمان­دهی
   معلم در این مرحله از دانش آموز می­خواهد به سازمان دهی نتایج مختلف در یک ساختار استنتاجی از فرضیه ها، مفاهیم اصلی و نظریه ها بپردازد.    
5. چالش هوشمندانه 
   حال معلم به ایجاد موقعیت های خاص که برای دانش آموز چالش برانگیز باشد، می­پردازد.
6. برقراری ارتباط
   در نهایت لازم است دانش آموز یافته­های خود را به شکلی مناسب در اختیار دیگران قرار دهد.

پدیده نحوه قرارگیری

در مطالعات صورت گرفته در زمينه‌ی هندسه‌ی ثابت، محققان با در نظر گرفتن خصوصيات اجسام هندسي گرايشي را مد نظر قرار مي‌دهند. اگر تعدادي مثلث بر روي صفحه كاغذ به دانش‌آموزان نشان داده شوند، اين احتمال وجود دارد كه آنها مثلث متساوي‌الساقين را هنگامي كه قاعده‌اش افقي قرار گيرد، بهتر تشخيص دهند همچنين تشخيص مثلث قائم‌الزاويه هنگامي كه رأس قائمه آن موازي با لبه‌ی كاغذ قرار گيرند براي آنها آسانتر خواهد بود. (كلمنتس و بانيستا، 1992 ؛ يروشالمي و چازن، 1993).

هاسواگا (1997) اين يافته‌ها را تحت عنوان “پديده‌ی نحوه­ی قرار گیری” بيان کرد.

همزمان با فعاليت دانش‌آموزان در مدارس در درس هندسه، آنها از اشكال هندسي تصاويري ذهني را به عنوان مدل پایه تجسم مي‌كند. اين تصاوير غالباً قاطع نيستند (به مطالب مكوتيا، 1998 ؛ شيفتر ، 1999 نيز مراجعه فرماييد). به عنوان مثال ممكن است تصويری تك از مثلث متساوي‌الساقين در يك كتاب درسي موجب مي‌شود دانش‌آموزان يك قانون كلي ترتيب دهند و تنها مثلثي را متساوي‌الساقين بدانند كه قاعده‌اش افقي قرار گيرد.

نرم‌افزارهاي هندسه پويا دارای امکاناتی جهت ايجاد تصاوير هندسي متحرک با اندازه‌ها و جهت‌هاي متفاوت است. بدين جهت دانش‌آموزان  تنها يك تصوير را متعلق به شكل هندسي خاصي نمي‌دانند.

در یکی از این نرم افزارها به نام اسکچ پد دانش‌آموزان مي‌توانند با حركت اشكال هندسي به هر مكاني كه مي‌خواهند، اشكال را در حالتهاي بي‌ثبات لرزشی و حركتهاي مداوم در نظر بگيرند. به این ترتیب، درمي‌يابيم كه قابليت حركت در این نوع نرم‌افزارها دانش آموزان را از تعميم ويژگيهاي اشكال ثابت به تمام اشكال هندسي مشابه باز می دارد.

 کنجاوی بعد از حل مسائل

هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌گردد:

• هنـدسه مسطحه
• هندسه فضایی
• هندسه خطی.
• هندسه پویا

در هندسه مسطحه، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعبها، استوانه‌ها، مخروط‌ها، کره‌ها و غیره‌است.

تاریخچه هندسه

واژه انگلیسی( Geometry ) هندسه  از زبان یونانی ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمین و «متری» به معنای اندازه گیری تشکیل شده است.بنابراین هندسه اندازه گیری زمین است. مصریان اولیه نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نیل طغیان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسیل فرا می‌گرفت.
این عمل تمام علایم مرزی میان تقسیمات مختلف را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت‌گذاری زمین‌ها با کمک پایه‌ها و طناب‌ها اختراع کردند. آنها پایه‌‌ای را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند، پایه دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌‌شدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی‌ می‌گشت.
با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال 600 قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار یونانی به نام تالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد.
تالس‌ دلایل ثبوت برخی از فرضیه‌ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشریحی بود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی‌ می‌کرد ، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود.
وی حدود سال 300 قبل از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعة 13 جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند.
براساس این قوانین ، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت.
امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسة تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می کنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقلیدس، فیثاغورث( 572-500 ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون دایره پذیرفت.به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در قرن پنجم میلادی آپاستامبا، در قرن ششم ، آریاب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم ،بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

کلاس‌بندی هندسه

هنـدسه مقـدماتی به دو شاخه تقسیـم می گردد :

• هنـدسه مسطحه
• هندسه فضایی

در هندسه مسطحه ، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی ، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره ها و غیره است.

مدل ون هیل و یادگیری هندسه در محیطهای هندسه پویا

مدل ون هیل همانند مدل های ترتیبی مراحل مختلف رشد پیاژه (1960)  و مراحل تفکر بلوم (1974) ، با در نظر گرفتن گام­های رشد مفاهیم هندسه در فراگیران امکان یادگیری را افزایش داد. چرا که ون هیل در تحقیقات خود متوجه شد که استدلال­های رسمی در هندسه به صورت طبیعی در کودکان اتفاق نمی­افتد و یک نظام تربیتی مورد نیاز است. پنج مرحله­ی تفکر هندسه که وی معرفی کرد شامل تشخیص، تجزیه و تحلیل، استدلال غیر رسمی، استدلال رسمی و بیان ریاضی می­باشد.

به نقل از هوفر (1981) در متون استانداردهای آموزشی هندسه از دانش­آموزان انتظار می­رفت از ابتدا از استدلال­های استنتاجی رسمی استفاده کنند. که خوش بختانه در دهه­ی اخیر برنامه­های درسی در متون هندسه تغییر ایجاد کرده و آن را بهبود بخشیده­اند. بطوریکه با مدل ون هیل سازگار بوده و شامل سه مرحله نخست و فرآیند کشف شده است. چیزی که وعده­ی بزرگتری است این است که به موازات آن توسعه­ی نرم­افزاری هندسه که شامل مدل ون هیل می­شوند امکان ارائه­ی نرم­افزارهای هندسه پویا را فراهم آورده است.

از نظر کولتز (1991) هدف اصلی Sketchpad بر اساس گفته­ی طراحان آن، رشد دانش­آموزان از طریق گذراندن مراحل مدل ون هیل بوده است. کیسین (1995) و مک­کوی (1992) این نسل از نرم­افزارها را تسهیل کننده رسیدن به مراحل سطح بالای تفکر حل مسئله دانسته­اند.

اگر چه بسیاری از تحقیقات پیشین بر Logo و Geometric Supposer متمرکز بوده­اند، کاپوت (1992) پیشنهاد انجام مطالعات هدایت شده­ای را که شامل دو نرم­افزار فوق­العاده Geometer's Sketchpad و  Cabri Geometryمی­شود را ارائه داد.

لازم است این نوع از ابزارهای نرم­افزاری باز-پاسخ مبنایی برای برنامه درسی قرار گیرند.

فرآیند حل مسئله از دیدگاه هایز

هایز (1989) فرآیند حل مسئله را در 6 گام تفکیک می­کند.

1.       مشخص کردن مسئله

2.       ارائه­ی مجدد مسئله

3.       طرح بندی مسئله

4.       اجرای طرح

5.       بررسی درستی طرح

6.       بررسی راه حل

مراحل هایز نشان داد راه اطلاعاتی که در حین فرآیند حل مسئله کمک می­کند و مورد نیاز است که کودک یک مسئله­ی مستقل هندسی را به چند مسئله­ی کوچک تقسیم کند. سپس بعد از بررسی درستی پاسخ به هر مسئله­ی کوچک، آنها راه حل ها را با هم ترکیب کرده تا به یک راه حل بزرگتر در مراحل 5 و 6 برسند.

شرایط نرم افزاهای آموزشی از نظر آرنولد

آرنولد (1996) ابزار نرم­افزاری که نمونه­ای از جنبه­های مثبت فناوری رایانه­ای هستند، را نیازمند شرایط زیر به عنوان یک رسانه آموزشی مفید می­داند.

1.       به جستجو و کاوش­گری بها داده و مورد تشویق قرار دهند.

2.       کاربر را بعنوان عامل کنترل­گر بر تکنولوژی معرفی کنند.

3.       قابلیت­هایی را که به غیر از فن­آوری نمی­توان به آنها دست یافت را ارائه دهند.

4.       به گسترش قابلیت­های ریاضی کاربران کمک کند.

5.       فراگیران را غرق در مفاهیم ریاضی و فعالیت کند.

واژه هندسه (Geometry) از دو واژه يوناني «ژئو» Geo به معناي زمين و «متراين» به معناي اندازه گيري آمده است.

اقليدس (حدود300 قبل از ميلاد)، فيلسوف و رياضيدان ساکن آتن (پايتخت يونان) پس از تحصيل در آکادمي افلاطون به دعوت بطلميوس پسر لاگوس به اسکندريه مهاجرت کرد و مکتب رياضي خود را در آن شهر بنيان نهاد. مهمترين اثر اقليدس که نه به عنوان کتابي درسي و يا تمرين در هندسه محض، بلکه با اهدافي به مراتب متفاوت تر نگاشته شد، «اصول» (Elements) نام دارد که در سيزده جلد نگاشته شده است. اين کتاب يکي از تاثيرگذارترين و مهمترين كتابهاي تاريخ بشر در هندسه به شمار مي رود.

اهداف سه گانه آن بنا بر عقيده کارل پوپر (سمت چپ) (1902-1994) عبارتند از:

1- رفع بحراني که در رياضيات با کشف اعداد گنگ (اصم) پديد آمد (قبلا افلاطون در تيماوس با وارونه کردن نظر فيثاغوريان براي حسابي کردن هندسه، مقدمات اين کار را فراهم کرده بود)؛

2- بازسازي کل رياضيات؛

3- بنا کردن کيهان شناسي بر شالوده هاي هندسي (تا کنون هم بر اين روال عمل ميشود).

روش اقليدس در کتاب «اصول»

روش اقليدس در کتاب اصول، روش اصل موضوعي است. به اين معنا که با استفاده از چند اصل و فرض گرفتن چند مفهوم اوليه به اثبات درستي قضايا و نتايج پرداخته مي شود. براي اين که بتوان در روش اصل موضوعي درستي برهاني را پذيرفت اولا بايد برروي اصول موضوعه و ثانيا برروي قواعد استنتاج، توافق وجود داشته باشد. اقليدس در اين كتاب از تعداد انگشت شماري «اصول موضوع»، تعداد نسبتا قابل توجهي «قضيه» نتيجه گيري ميكند. كار عظيم اقليدس اين بود كه چند اصل ساده و چند حكم را كه بي نياز به توجيه و پذيرفتني بودند، دست چين كرد و از آنها ۴۶۵ گزاره نتيجه گرفت كه بسياري از آنها پيچيده بودند و به طور شهودي، بديهي نبودند و تمام اطلاعات زمان او را در برداشتند. يك دليل بر زيبايي «اصول» اقليدس اين است كه اين همه را از آن اندك نتيجه گرفته است.

مفاهيم اوليه هندسه

اقليدس  همه سعي خود را کرد که تمامي اصطلاحات هندسي را تعريف کند. اما اين کار به فهميدن بيشتر کمک نمي کند و دور يا تسلسل لازم مي آيد (دور در تعريف، دور بي خطري نيست). مثلا سعي مي کند خط مستقيم را اين گونه تعريف کند:  خطي که به نحوي هموار بر نقاطي که بر آن هستند، قرار داشته باشد. اين تعريف خوبي نيست چون بايد براي فهميدن آن، قبلا تصوري از خط داشته باشيد؛ پس يک سري اصطلاحات بعنوان اصطلاحات تعريف نشده در نظر گرفته مي شوند:

نقطه

خط

قرار دارند بر

ميان (مثلا نقطه A ميان دو نقطه ديگر است) و

قابليت انطباق.

فراهم آوردن اين ليست از کارهاي هيلبرت است.

از زمان اقليدس رسم بر اين بود که هندسه به صورت دستگاهي اصل موضوعي و منسجم مورد مطالعه قرار گيرد. رياضيدانان جديد نيز که به گسترش جنبه هاي ديگر پرداختند از اين روش تبعيت مي کردند؛ به طوري که صورت بندي «اقليدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاي فكري بود و پنداشته ميشد كه نظام اقليدس يگانه نظامي است كه امكان پذير است. اين نظام بي چون و چرا توصيفي درست از جهان انگاشته ميشد. هندسه اقليدسي مدلي براي ساختار نظريه هاي علمي بود و نيوتن و ديگر دانشمندان از آن پيروي مي كردند.

فضاي هندسه اقليدسي

هندسه اقليدسي فضايي را مفروض مي گيرد كه هيچ گونه خميدگي و انحنا ندارد. به عبارت ديگر، هندسه اقليدسي براي دستگاهي مشتمل بر خطهاي راست در يك صفحه طرح ريزي شده است اما در عالم واقع يك چنين خطهاي راستي وجود ندارد. بر خلاف هندسه اقليدسي، نظام هندسي لباچفسكي و ريماني اين خميدگي را مفروض مي گيرند (در پستهاي بعدي به آنها اشاره خواهد شد).

اصول هندسه اقليدسي

نظام قياسي هندسه اقليدسي مبتني بر پنج اصل موضوع، پنج اصل متعارفي و چند برابر آنها اصول موضوعه و متعارفي تعريف نشده و همچنين برخي تعاريف بود و قضاياي هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات ميشوند. اين اصول موضوع عبارتند از:
1- از هر نقطه به هر نقطه ديگر مي توان خطي راست کشيد.
2- هر خط راست محدود را مي توان به طور نامحدود و به صورت خط راست ادامه داد.
3- هر نقطه اي و هر طولي داده شوند، مي توان دايره اي کشيد که آن نقطه مرکزش و آن طول شعاعش باشند. يا به عبارت ديگر، مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم کرد.
4- همه زواياي قائمه با هم برابرند.
5- اگر خطي راست دو خط راست ديگر را قطع کند، چنان که مجموع دو زاويه که در يک طرف آن تشکيل مي شوند از دو قائمه کمتر باشد، چون دو خط راست را به اندازه کافي امتداد دهيم، سر انجام در همان طرفي که مجموع زوايا کمتر از دو قائمه است، يکديگر را قطع مي کنند (بيان خود اقليدس).

صورت ديگر اصل موضوعه پنجم اقليدس به اين شکل بيان مي شود: «به ازاي هر خط و نقطه اي خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خط مفروض مي تواند از آن نقطه عبور كند».

معادلهاي اصل پنجم اقليدس:

(الف) اگر يک خط، دو خط موازي را قطع کند، همه زواياي حاده بوجود آمده با هم و همه زواياي منفرجه به وجود آمده با هم مساوي اند.

(ب) مجموع زواياي داخلي يک مثلث 180 درجه است.

 (پ) اگر خطي يک خط موازي را قطع کند، ديگري را هم قطع مي کند.

(ت) هرگاه خطي بر يک خط موازي عمود شود، بر ديگري نيز عمود مي شود.

(ث) هرگاه k و l دو خط موازي باشند و m بر k عمود باشد و n بر l عمود باشد آنگاه يا m=n يا m با n موازي است.

هِندِسه مطالعه انواع روابط طولی و اشکال و خصوصیات آن‌ها است. این دانش همراه با حساب یکی از دو شاخه قدیمی ریاضیات است.

واژه هندسه عربی شده واژه «اندازه» در فارسی است. در زبان انگلیسی به آن geometry و در زبان فرانسه به آن géométrie می‌گویند که هردو از γεωμετρία (گئومتریا) در زبان یونانی آمده که به معنای اندازه‌گیری زمین است.