ثابت کنید : QC=c,  BQ=b,  AB=a اګر

 (الفAD=

            B      b       Q                c                      C

1

2

 

3

B           b             Q                            c                                     

a

1

A                                                                         D

2

                        ABQ=B =90           AQ²=a²+b²

3

     اثبات           :QCD=C =90           DQ²=c²+a²

AQD=Q=90          AD²=aq²+qd²

روابط ۱ و۲ رادر ۳ قرار می دهیم

 =a²+b²+c²+a²=

             AD=

(ب a²=(b+c)²                                 

:اثبات   AD²=(b+c)²                  AD²=b²+c²+2bc

                                             2a²+b²+c²=b²+c²+2bc       a²=bc

با توجه به اندازه های روی شکل و AB=35  به سوالات زیر پاسخ دهید ؟                                                                   C                                                                               

                              B       H                  E                           

                                                            ' H                  A

                                       D                                  CH' = 6   

                                                                                                                                                       DH = 8

الف) نسبت مساحت های مثلث هایACE وBDE را بیابید ؟

متقابل به راسE1 = E2

BDE ~ ACE   

AC || BO , AB / ,       A = B

ب) مساحت مثلث BDE را به دست آورید ؟

در میان آریستوکراتها ، میلتوسی ها از استقلال نظر خاصی برخوردار بودند و این کوشش آنان بود برای داشتن فردیت و مزیتی که آن ها را می پرواند تا یکی از سعادتمندترین مردم منطقه باشند . تالس در جستجوی دانش سفرهای بسیاری کرده بود و از کرت ، مصر و فینیقیه نیز دیدن کرد. نسب تالس را احتمالاً از مردم فینیقی می دانند اما در حقیقت او باید از کارین ها یا کرتیان باشد که حتماً بافرهنگ ایونیایی ادغام شده است .

 گاتری می گوید: « یافتن اثر خون سامی در همان آغاز فلسفه ی یونانی جالب است »، این پیوند نسبی تالس با فینیقیان که توسط دیوگنس لائرتیوس انکار می شود ، اگر هم حقیقتی تاریخی نباشد اما تاثیرپذیری تالس از مشرق زمینیان دیگر امری امکان ناپذیر است .
پیوند تالس با فینیقیان (طبق گفته هرودوت) ممکن است بدین خاطر باشد که فنّ هدایت کشتی رانی را به میلتوس آورده است . میلتوسی ها بازرگانان بزرگی در دریا و خشکی بودند و بدین منظور علاقه مند به آموختن فنّ هدایت کشتی رانی در دریا بودند . تالس فهمید که چگونه کشتی ها می توانند بوسیله دبّ اصغر هدایت شوند چراکه استفاده از دبّ اصغر بهتر از دبّ اکبر برای هدایت کردن است چون که آن نزدیکتر به ستاره قطبی است و موقعیتش کمترین تغییر را در آسمان دارد . گروهی این استدلال را دارند که فینیقی ها ، راز و رمز این هدایت بری کشتی ها را به بیگانگان نمی آموختند پس تالس باید از نژاد فینیقیان باشد ( همانند مورد زنو اهل کیتیوم ) .
 همچنین گفته شده است که تالس کوششی در اصلاح سالنامه نیز داشته است . مشاهده او از دبّ اصغر به مثابه شاخصی بهتر از دبّ اکبر برای یافتن قطب را کالیماخوسِ حکیم و شاعر (۳۰۵ ـ ۲۴۰ ق م ) ذکر کرده است و همچنین گفته است که دانش هندسه را برای استفاده علمی در اندازه گیری اهرام و محاسبه ی فاصله ی کشتی ها در دریا بکار بست . همه ی این ها از تالس تصویر نابغه ای عملگرا ارایه می دهند هر چند که بسیاری از این داستان ها زائیده تخییل است .

پیش بینی تالس
تالس با استفاده از علم کائنات جو در حالی که هنوز زمستان بود ، پیش بینی کرد که در فصل آینده محصول زیتون فراوان خواهد شد ؛ پس با پس انداز اندک خود همه ی روغن کشی های میلتوس و خیوس را اجاره کرد ، و وقتی محصول زیتون رسید ، توانست پول هنگفتی از طریق دوباره اجاره دادن آنها به دست آورد . این طرح تالس بنا به گفته ارسطو صرفاً ثروت اندوزی نبود بلکه " نشان داد که توانگر شدن برای فیلسوفان آسان است ولی در شأن ایشان نیست ." ( سیاست ارسطو ، کتاب اول ، ۶آ ۱۲۵۹ ) افلاطون در تئه تتوس میآورد که چگونه تالس ، وقتی به ستارگان خیره شده بود ، در چاه افتاد ، و کنیزکی گستاخ بر او خندید ، که وقتی نمی تواند زیر پایش را بیبند ، در آسمان دنبال چه می گردد .
«سقراط : تئودوراس ، منظورم را برایت توضیح می دهم ، با لطیفه ای که شوخ طبعی زیرکانه کنیزکی اهل تراس و درباره تالس ساخته شده است ، هنگامی که او در حال نگاه کردن به آسمان و ستارگان بود ، درون چاله ای افتاد . کنیزک گفت که تالس آنقدر مشتاق مطالعه و سیر در آسمان است که نتوانست جلوی پاهایش را ببیند . این لطیفه ای قابل اطلاق برای تمام فلاسفه است . فیلسوف هیچ آگاهی ندارد از آنچه که در آینده رخ خواهد داد ـ اگر همسایه اش مردی بی دانش است ، او حتی نمی داند که در حال انجام چه کاری است و از او آگاهی چندانی ندارد ؛ آیا او یک انسان است یا یک حیوان ؟ فیلسوف جویای هستی انسان است، و سرگرم تحقیق کردن پیرامون این که ، ذات انسان به چه تعلق دارد یا متحمل رنجی متفاوت از دیگران است ـ تئودوروس فکر می کنم ، مقصودم را درک کردی؟ » ( افلاطون ، تئه تتوس، ترجمه بنجامین جووت )

تالس و اخترشناسی
« هرودوت (۴۸۴ ـ ۴۲۵ ق.م ) ، پدر تاریخ ، نخستین نویسنده ای است که از تالس سخن گفته و تقریباً ۱۵۰ سال پس از وی می زیسته است ، او می گوید که در زمان های بسیار دور ـ آن طور که حسابرسان امروزی به ما نشان دادند ، در حدود سال ۵۹۰ ق.م ـ جنگی میان لیدیان تحت فرمان آلیاتس ( حکومت ،۶۱۰ ـ ۵۶۰ ق.م ) و مادها تحت فرمان کیاکسارس Cyaxares ( حکومت ، ۶۲۵ ـ ۵۸۵ ق.م ) در گرفت که مدت شش سال به طول انجامید ." در این سال های جنگ ، بسیاری از حملات لیدی ها را ایرانیان خنثی کردند و هجمه های ایرانیان را لیدیان نیز پاسخ دادند (هنگام این نبرد طولانی ، در یکی از روزها ، ناگهان شب شد) ؛ در نتیجه هر دو طرف دست از جنگ کشیدند .
 ششمین سال جنگ بود که این اتفاق روی داد ، هنگامیکه تازه نبرد آغاز گردیده بود ، ناگهان روز به شب تبدیل شد . این تبدیل روز را به شب تالسِ میلتوسی برای ایونیان پیشگویی کرده بود و بدین خاطر از نبرد دست کشیدند . لیدیان و ایرانیان وقتی این تغییر روز به شب را دیدند ،جنگ را متوقف کردند و مصم به صلح شدند . »
تالس ستاره شناسی را در بابل آموخت و پس از بازگشتش به میلتوس بیشرین شهرتش را به واسطه پیشگویی خورشید گرفتگی کسب کرد (۲۸/۵/۵۸۵ سالنامه ژولیان یا ۲۲/۵/۵۸۴ سالنامه گرگوریان ، خورشید گرفتگی ) . امروزه این مسئله بعید به نظر میرسد وقتیکه ستاره شناسی نوین می پندارد که در آن زمان علم نجوم به آن حد توسعه یافتگی نرسیده بود که قادر باشد ،چنین پدیده ای را به طور دقیق پیشگویی کند . گروهی را عقیده بر این است که تالس خیلی خوش شانس بود که پس از کلدانیان که به او گفته بودند ، هر ۵۴ سال و ۳۴ روز (چرخه کسوف) یک خورشید گرفتگی رخ می دهد ؛ اما خورشید گرفتگی در منطقه محدودی از زمین نمایان می گردد ،برخلاف ماه گرفتگی که در بسیاری از مناطق قابل روئیت است . تالس در آن زمان قطعاً نه دانش ستاره شناختی لازم برای پیش بینی دقیق گرفتگی جزئی خورشید و نه دانش لازم برای پیش بینی ویژگی آن خواه جزئی و خواه کلی را داشته است .
 او به ویژه از کرویت زمین و اختلاف منظر آن بی خبر بود . بروگمن می گوید : « پیش بینی تالس این بوده است که خورشیدگرفتگی قبل از انقلاب صیفی ( تابستانی ) یعنی قبل از پایان ژوئن ۵۸۵ پ.م رخ خواهد داد . این مطلب با این حدس مطابق است که پیش بینی تالس برگرفتگی سال ۶۰۳ خورشید در مصر مبتنی است ، که یک دوره قبل از آن بوده است ، زیرا آن گرفتگی در ۱۸ می ، رخ داده است . گاتری می گوید :« با توجه به فرصت های فراوان تالس برای ارتباط بسیار محتمل است که او با ابزار محدود پیش بینی که آنها در اختیار داشتند ، آشنا بوده است و از این طریق به خوبی توانسته است بگوید که در اواخر سال ۵۸۵ پ.م کسوف رخ خواهد داد .ممکن است چنانکه پیشنهاد کرده اند ، کسوفی را که ، هجده سال قبل در ۶۰۳ پ.م در مصر دیده شده ، روئیت کرده باشد .
 این که کسوف ۵۸۵ پ.م در زمان و محل جنگ رخ داده است و تقریباً کلی بوده و موجب سست شدن جنگجویان گشته و به آتش بس انجامیده است برای وی فرصتی مبارک بوده است ، زیرا حکم وی را در جریان بازنگری در طول قرن ها ، بدان سبب بسیار دقیق یافته اند و این امر شهرت او را در میان همشهریانش تضمین کرده است ».کسوف برای تالس به دو دلیل اهمیت دارد : اول آن که تاریخ رشد و نمو نخستین فیلسوفان یونانی را معین می کند و دیگر آن که که مقام وی را به عنوان منجم در میلتوس مشخص می دارد که یودموس ، یکی از شاگردان ارسطو در اثری مفقود شده این مطلب دومی را با تاکید بیشتری ذکر کرده است .

سیاست
زندگی سیاسی تالس بیشتر به درگیری ایونی‌ها در دفاع از آناتولی، در برابر قدرت فزایندهٔ ایرانیان که در آن زمان به تازگی به آن منطقه وارد شده بودند؛ بر می‌گردد. به این ترتیب، آژی دهاک و کورش کبیر از معاصران تالس در ایران بوده‌اند.
تالس به عنوان دولت مردی عملگرا (پراتیک) شهرت داشت . هرودوت او را برای این پند حکیمانه اش می ستاید که گفته بود شهرهای ایونی در مواجهه با خطر پارسیان باید هم پیمان شوند و مرکز مشترک رهبری خود را در تئوس Teos قرار دهند .
گفته شده است که یکی از اختراعات مهندسی او ، ساختن گذرگاهی بر روی رودخانه هالیس برای ارتش کرئوسوس ، شاه لیدی بواسطه انحراف جریان آب بود . هرودوت می گوید : « این روایت مطلوب یونانیان است ، اما من می گویم کرئوسوس از پلی موجود در آن محل استفاده کرد ». «کرئوسوس مشکوک بود که چگونه لشکریان خود را از رودخانه عبور دهد ، زیرا دیگر آن پل ها آن جا نبود و تالس که تصادفاً در میان سپاهیان وی بود رودخانه را به دو قسمت کرد و ترتیبی داد که آب بجای فقط از سمت چپ ، از دو طرف سپاهیان جاری باشد و آن کار را بدین صورت انجام داد : در مسافت دور دستی در بالای اردوگاه کانال عمیقی بطور نیم دایره کند تا بدین ترتیب آب را از عقب اردوگاه عبور دهد و بنابرین رودخانه از مسیر طبیعی خود به مجرای جدید منحرف گردید و از این راه آب از کنار اردوگاه جاری و سپس به مسیر قدیمی خود می رفت ، بدین وسیله رودخانه به دو نهر تقسیم شد که هر دو به آسانی قابل عبور و مرور بود .» ( تاریخ هرودوت )

نظریات فلسفی تالس
یونانیان باستان، طبیعت را در چهار عنصر خاک، آب، هوا و آتش خلاصه کرده بودند. تالس این فرضیه را مطرح کرد که همهٔ این اشکال را می‌توان در یک عنصر نخستین، وحدت بخشید. او این عنصر نخستین جهان یا آرخه (به انگلیسی:arxe) را آب دانست. امروزه نمی‌دانیم که منظور دقیق وی از این گفته چه بوده‌است. شاید او بر این اعتقاد بوده باشد که همه چیز از آب پدید آمده‌است و دوباره به آب مبدٌل می‌گردد.
دیوگنس لائرتیوس می گوید فلسفه ایونی با آناکسیمندر آغاز شد ، اما تالس که ملطی و از این رو ایونی بود ، آناکسیمندر راتعلیم داد . ولی نخستین سیستم فلسفی که درباره ی آن می توان سخن گفت ، از آن آناکسیمندر است اما تنها دلیلی که ما تالس را بنیانگذار مکتب فلسفی ایونی می دانیم ، عبارت است از تایید ارسطو که بر منابع دست دوم استناد کرده است . ( متافیزیک ، آلفای بزرگ ، ۲a ۹۸۴ ) :
« بسیاری از اندیشمندان قدیم چنین می اندیشیدند که اصول موجود در طبیعت ماده ، تنها اصول همه اشیاء هستند : اصولی که اشیاء را تشکیل می دهند و همه اشیاء از آنها به وجود می آیند و در نهایت به آنها منحل می شوند ( جوهر ثابت می ماند و حالات آن تغییر می کند ) آنها می گفتند ، این چیز اصل و عنصر همه اشیاء است و از این رو فکر می کردند که هیچ چیز پدید نمی آید و از بین نمی رود ، زیرا این نوع موجود همیشه حفظ می شود ... همواره جوهری ثابت یا طبیعتی ثابت ، که واحد یا بیش از واحد است ، وجود دارد که در پیدایش چیزهای دیگر از حفظ می شود.
 تالس که راه این گونه فلسفه را نشان داد ، می گوید که اصل آب است و به همین دلیل می گوید که زمین بر آب قرار دارد . ممکن است این فرض او از این مشاهده ناشی شده باشد که خوراک همه ی مخلوقات ، مرطوب است ، و این که خود گرما از رطوبت پدید آمده است و به وسیله ی آن زندگی می کند. دلیل دیگر فرض او این است که بذر همه ی چیزها طبیعتی مرطوب دارد. بعضی ها فکر می کنند که نویسندگان بسیار قدیم نیز ، کسانی که مدتها قبل از نسل حاضر ، برای نخستین بار درباره خدایان نوشتند ، درباره طبیعت همین نظر را داشتند ؛ زیرا آنها اوکئانوس Oceanus و تتوس Tethys را پدر و مادر پیدایش نامیدند و معتقد شدند که خدایان در سوگند خوردن به رودخانه ای که خودشان استوکس Styx نامیدند ، در واقع به آب سوگندخورده اند : آنچه کهن ترین است ، محترم ترین است و شخص به آنچه محترین است سوگند می خورد . این که آیا این عقیده درباره طبیعت ، به واقع عقیده باستانی و آغازین است ، و شاید مشکوک باشد اما دست کم گفته شده است که تالس علت نخستین را بدین طریق توصیف کرده است.
هیپون Hippo را به علت کم ارزش بودن اندیشه اش ، هیچکس شایسته ی ذکر در این طبقه نمی داند .» اولین کسی که این ایده تالس را روایت می کند ، ارسطو است و این ارسطوست که باعث شده آغازگر فلسفه اروپایی را تالس بدانیم و آن هم با جملاتی چون " می گویند تالس گفته است" یا "از آنچه ضبط شده است چنین بر می آید که او فکر می کرده است که ". در این که آیا تالس چیزی نوشته است یا نه ، دیدگاه ها متعارض است : " تالس چیزی ننوشت جز ستاره شناسی طبیعی (سیپلیکیوس) " ؛ " آرا خود را به صورت نثر عرضه کرد ( پلوتارک )" ؛ بعضی می گویند که تالس هیچ چیز ننوشت ، و ستاره شناسی طبیعی از آن فوکوس اهل ساموس است ، بعضی دیگر می گویند او فقط دو رساله نوشت ، به ترتیب درباره انقلاب و اعتدال (خورشیدی) ـ [دیلز ـ کرانتس] . تالس برای ارسطو فیلسوفی است که اصل (آرخه) را مطرح کرد .
 نویسنده ای بیان می کند : « به نظر می رسد که جست و جوی چیزی که در طول تغییر ، ثابت باقی می ماند گرایشی است که ریشه ای عمیق در ذهن انسان دارد . در نتیجه به نظر می رسد که میل به تبیین فقط با این کشف ارضاء می شود که آن چه جدید و متفاوت ظاهر می گردد ، در تمام زمان ها وجود داشته است . از این جاست که جست وجوی هویت زیربنایی ، و ماده ای پایدار ، و جوهری که علی رغم تغییرات کیفی ثابت می ماند [طبیعی به نظر می رسد] و بر حسب این تغییرات تبیین می شود ».
پروفسور برود Broad خاطر نشان کرده است ، گنجاندن وحدت و نظم در جهان چیزی است که برای حس زیبایی شناختی انسان کمتر از علایق عقلانی او خوش آیند نیست ، و این امر آنگاه که حد اعلای خود رسد ، به این دیدگاه منجر می شود که فقط و فقط یک نوع ماده وجود دارد .هر چند اصطلاحات " موضوع" و "عنصر" دور از دسترس ملطیان بود ، ارسطو کلمه دیگری ، یعنی اصل Arche را برای توصیف جوهر نخستین به کار می برد ، که خواه خود آنها این کلمه را بدین طریق بکار برده باشند خواه نه ، استعمال آن در زمان آنها رایج بود و به خوبی برای درک آنها از معانی ( الف ) نقطه ی آغاز یا شروع ، و ( ب ) علت پیدایش ، مناسب بود .
دلایل آرخه گرفتن آب توسط تالس به دو دسته ی اسطوره ای و عقلانی تقسیم می شوند :

- سرآغازهای اسطوره ای

محققین دلایل اسطوره شناختی تالس را به دو دسته شرقی و یونانی تقسیم می کنند : « تالس در کشوری زیست که با ایده های بابلی و مصری آشنایی داشت و برطبق روایتی مناقشه ناپذیر ، خود وی مصر را دیده است ( اولین بار مدتها قبل در ۱۸۸۵ م بود که برتلوت پیشنهاد کرد نظریه تالس ریشه بابلی دارد ) در فرهنگ این تمدن ها رودخانه اهمیت بسیار داشت . روحانیان مصری به خود می بالیدند که نه تنها تالس بلکه هومر نیز از آموختند که آب را اصل همه اشیاء بخوانند . ( پلوتارک ، ایزیس و ازیریس ، ۳۴ ؛ دیلز ـ کرانتس ، A ۱۱ )
در جهان شناسی بابلی که در انوما الیش مربوط به هزاره دوم پیش از میلاد بیان شده است ، تصویر مشابهی از تقدم آب وجود دارد . در اساطیر بابلی و در ایلیاد سرود ۱۴ بیت ۲۰۱ : " و اکئانوس ، نخستین پدر خدایان و مادرشان تتوس " یا در بیت ۲۴۶ : " اکئانوس که نخستین پدر همه ی آنها است . اکئانوس در دور دست ترین نقطه ی زمین ساکن است " ( ایلیاد ، ۱۴ ، ۲۰۰ ) ؛ " آن رودخانه ی بزرگی است ( ایلیاد ،۱۸ ، ۳۹۹ ) که در دور زمین جریان دارد. " آب نقشی بنیاد آفرین دارد .
اسطوره های یونانی خود ممکن است بازتابی از اسطوره های شرقی باشند ( ای . ایچ . میر این را سال ها قبل پیشنهاد کرده است ) آن دسته از اسطوره نگاران یونانی که به مسئله ی پیدایش جهان علاقه مند بودند ، هر چند که اکئانوس را برتر از دیگر خدایان می دانستند ، به نظر می رسد که او را بر خدایان دیگر مقدم نمی گرفتند . اکئانوس از نظر هیسود ، مانند پونتوس دریا ، پسر زمین و آسمان است . از سوی دیگر در کهن ترین آموزه های اُرفه ای مربوط به پیدایش خدایان نیز شاهدی قوی درباره این که اصل آب قبل از همه باشد ، وجود ندارد . با در نظر گرفتن این مطالب ، منشاء ممکن ایده ی تالس از طریق علاقه مندی به موضوع آب توجیه می شود ، اما باید تاکید کرد که این سخنان همه حدسیاتند . این مطلب در مورد تبیین های عقلانی نیز صادق است .

- تبیین های عقلانی

آب تنها جوهری است که می توان تغییر حالات آن را بر طبق حرارت به حالت جامد ، مایع و گاز مشاهده کرد .( برنت ) از نظرگاه ارسطو محتمل ترین اندیشه های موجود در ذهن تالس ، اندیشه های هستند که آب را با زندگی پیوند می دهند . به این دلیل است که او می بیند غذا و منی دارای رطوبت هستند و حرارت زندگی ، حرارتی مرطوب است ؛ و هیچ فرضی بیشتر از این فرض محتمل نیست که این تصورات قدیمی هنوز در ذهن او وجود داشته اند و در میان جهات بسیار ، اندیشه ی او را ، حتی در مرتبه ی ، خودآگاه به این جهت رهنمون شده اند که با کنار گذاشتن گزارش های اسطوره شناختی در جست و جوی گزارشی عقلانی در مورد توجیه این تصورات برآید . به علاوه آن خط سیر فکری که ارسطو در این جا به او نسبت می دهد با آنچه سنت درباره ماهیت اشیاء به وی نسبت می دهد ، کاملاً سازگار است .
تالس به روح نیز معتقد بود؛ اما نه به عنوان امری مجرد، بلکه به مثابه نیروی حرکت دهنده و جنبانندهٔ اشیا. وی روح را نیز خدا می‌داند. سرانجام تالس به این نتیجه رسید که «همه چیز پر از خدایان است». تالس تصور می‌کرد که جهان مملو از نیروهای محرک نامرئی است. مسلمآ منظور او از خدایان نیز همین نیروهای محرک بوده‌است و به خدایان یونانیان باستان، ارتباطی ندارد.

جایگاه و اهمیت نظریات فلسفی تالس
نظر تالس مبنی بر اینکه بن همه چیز آب است، بیش از حدس و گمان نبود؛ و نه او و نه بسیاری که پس از او آمدند، راهی برای آزمودن نظریاتشان نداشتند؛ با این وجود علت اهمیت وی به عنوان یک اندیشمند چیست؟
تالس، نخستین فیلسوفان به شمار می‌آید. این لقب را از آن رو به تالس اعطا کرده‌اند که او نخستین متفکر از سلسلهٔ متفکرانی است که کوشیدند تا به جای تفسیر اسطوره شناختی، جهان را به روشی عقلانی توصیف کنند.
به واقع مهم ترین مسائلی که تالس را از نظر فلسفی در تاریخ اندیشه ممتاز می‌کنند، کوشش وی برای شناختن جهان از راه مشاهده و تفکر و واقع بینی، دور انداختن افسانه‌های دینی و تفسیرهای اساطیری، و تلاش جهت فهم جهان بی‌توسل به خدایان و افسانه‌ها و نیروهای نامحدود آنان است.
برتراند راسل در کتاب تاریخ فلسفه خود عنوان می‌کند:
« فلسفه به عنوان چیزی متمایز از الهیات در قرن ششم قبل از میلاد آغاز شد. به روایت اسناد آغازگر فلسفه تالس بود. هنر تالس این بود که کلمهٔ «چه؟» را به جای کلمهٔ «که؟» گذاشت. تالس همچون متفکران پیشین یا دقیق‌تر بگوییم همچون متدینان گذشته نپرسید که جهان از «که» یا به وسیلهٔ چه کسی ساخته شده‌است، بلکه سؤال را به شکل کاملا تازه‌ای مطرح کرد. پرسید: جهان از «چه» ساخته شده است؟ یعنی تالس تفسیر اسطوره شناختی کهن را در باب پیدایی جهان، رها کرد و کوشید تا با تفکر عقلی به توصیف طبیعت بپردازد و پیدایی جهان را تبیین کند. اگر سؤال را به شکل اول مطرح کنیم، سرانجام در پاسخ خود، خدایانی را می‌یابیم که جهان را آفریده‌اند و این جوابی است دینی بر بنیاد افسانه‌های آفرینش و نه فلسفی. اما جواب این پرسش که جهان از چه ساخته شده است؟ جوابی علمی و فلسفی است و اولین کسی که سؤال را بدین شکل مطرح کرد؛ تالس متفکر قرن ششم قبل از میلاد بود. »
 
قضیه های تالس
عقیده بر آن است که تالس پس از مسافرت به مصر ، هندسه را برای یونانیان به ارمغان آورد . این قضیه ها را به او نسبت داده اند:
۱) قطر دایره آن را نصف می کند .
۲) زوایای قاعده مثلث متساوی الساقین مساویند .
۳) اگر دو خط مستقیم یکدیگر را قطع کنند ، زوایای متقابل مساوی اند .
۴) زاویه ای که در نیم دایره محاط شود ، قائمه است . مشهور است هنگام کشف این قضیه تالس جهت شکرگزاری ، گاوی را قربانی کرد .
۵) اگر قاعده و زوایای آن داده شود می توان مثلث رسم کرد .
( یودموس در مورد قضیه سوم تالس می گوید که این قضیه را تالس کشف کرد، اما برهان علمی آن را برای اثبات ، اقلیدس اقامه کرد . )
در مورد تالس این پرسش مطرح نیست که چه کاری انجام داد ، چرا که این را ما می دانیم و آنچه نمی دانیم این است که چگونه آن را انجام داد؟ گاتری عقیده دارد که « شاید ما به دانستن این مقدار راضی باشیم ، تالس در میلتوس ، و در زمان آلیاتس و کرئوسوس ، پادشاهان لیدیا ، کیاکسارس و آستیاگس ، پادشاهان ماد و کوروش پادشاه ایران زندگی می کرد و دقیقاً با سولون اهل آتن هم عصر بود.

اصل قضیه تالس
تالس اولین کسی نبود که این قضیه را کشف کرد قبل از او مصریان و بابلیان این قضیه را میدانستند ولی آنها نتوانسته بودند اثباتی برای آن بیان کنند. چون این قضیه اولین بار توسط تالس به اثبات رسید به نام او نیز معروف شد.البته تالس با استفاده از تعریف مثلث متساوی الساقین و نیز علم به این موضوع که جمع زوایای یک مثلث، 180 درجه است ،این قضیه را اثبات کرد.
در هندسه ،قضیه تالس این مطلب را بیان میکند که اگر A و B و C نقاط روی دایره باشند و خط AC ،قطر دایره باشد آن وقت زاویه ABC یک زاویه قائم خواهد بود. به بیان دیگر مرکز دایره محیطی یک مثلث روی یکی از اضلاع مثلث قرار میگیرد اگر وتنها اگرآن مثلث قائم الزاویه باشد.

مرگ تالس
طبق گفته های دیوگنس لائرتیوس، تالس سال را به ۳۶۵ روز تقسیم کرده بود و بنا به نوشته هایش تالس در هنگام دیدن یک مسابقه ورزشی از دنیا رفت. وقتی که تماشاچیان در حال ترک کردن ورزشگاه بودند ، دریافتند که تالس در حال تماشای بازی خوابش گرفته است در عین حالی که او واقعاً مرده بود. مرگ تالس در پنجاه و هشتمین دوره بازی های المپیک و در سن ۷۸ سالگی اتفاق افتاد . (۵۴۸ – ۵۴۵ ق.م ) گفته های این دو مورخ بیشتر بنا به سنت است و گرنه هیچ نوشته ای از تالس بر جا نمانده است و منابع هم عصر وی نیز موجود نمی باشد ؛ بدین خاطر کار بر روی شخصیت وی مشکل می باشد . تالس را یکی از هفت مرد خردمند یونان باستان به شمار می آورند ، به گفته دیوگنس در دوره قانون گذاری داماسیس به او عنوان حکیم داده بودند و سخنان بسیاری را به او نسبت دادند ، از آن جمله : « خودت را بشناس » و « چیزی در افراط نیست »

نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی (Nikolay Ivanovich Lobachevsky)

می دانیم که از یک نقطه خارج از یک خط مستقیم، یک خط و تنها یک خط می توان به موازات آن رسم کرد. ولی آیا می دانید هندسه هایی ابداع شده اند که در آنها از یک نقطه خارج از یک خط راست هیچ خط و یا بیش از یک خط می توان به موازات خطی معین رسم کرد حالت دوم به هندسه ای منجر می شود که «هندسه هذلولی» نام دارد و نخستین بار توسط ریاضیدان روس، نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی ابداع شد و به همین دلیل به آن هندسه لوباچفسکی نیز می گویند. آنچه در پی می آید خلاصه ای است از زندگی و فعالیت های لوباچفسکی و بعضی ویژگی های هندسه هذلولی که به مناسبت صد و پنجاهمین سالمرگ وی تنظیم شده است.
نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی در اول دسامبر سال ۱۷۹۲ در شهر نیژنی نووگورود چشم به جهان گشود. از وضع پدرش آگاهی کمی در دست داریم، کارمند جزء و ظاهرا هندسه دان ناحیه بوده است و به سختی هزینه و درآمد خود را سر به سر می کرد. یانیشفسکی نخستین کسی که زندگینامه لوباچفسکی را نوشته است، می گوید: فقر و محرومیت، گهواره لوباچفسکی را در میان گرفته بود. خانواده لوباچفسکی از طرف مادر با سروانی به نام شبارشین خویی داشت که به یاری آنها می شتافت و از کودکان خانواده لوباچفسکی همچون مردمک چشم هایش نگهداری می کرد ولی در سال ۱۷۹۷ چشم از جهان فرو بست و وضع خانواده بدتر از بد شد. احتمالا کمی بعد از این حادثه بود که مادر خانواده به خاطر آموزش پسرانش الکساندر نیکلا و آلکسی عازم و ساکن قازان شد.

نیکلا در سال ۱۸۰۲ وارد مدرسه قازان شد. دانشگاه قازان که در سال ۱۸۰۵ باز شد از این مدرسه منشعب شده بود. لوباچسفکی با آمادگی ریاضی که امروز هم می توان آن را بسیار خوب دانست وارد دانشگاه شد. این آمادگی به او امکان داد تا به سرعت به آموزش عمیقی در زمینه دانش های دقیق دست یابد. نیکلا در ماه فوریه سال ۱۸۰۷ وارد دانشگاه شد و تا آخرین روزهای زندگی اش وابسته به دانشگاه قازان باقی ماند. لوباچفسکی احتمالا به خاطر میل مادرش در آغاز به تحصیل پزشکی پرداخت ولی به زودی بارتل ریاضیدان برجسته و مربی باارزشی که آوازه شهرتش از مدت ها پیش در دانشگاه قازان پیچیده بود وارد دانشگاه شد. از او استقبالی سرشار از محبت و احترام به عمل آمد. دانشجویان علاقه مند به ریاضیات در کلاس های او حضور یافتند و لوباچفسکی هم برای استفاده از درس های او پزشکی را کنار گذاشت. بین دانشجو و استاد رابطه گرمی برقرار شد. بارتل به طور خصوصی هم با لوباچفسکی کار کرد و او را یاری داد تا به مشکلات کتاب های رسمی ریاضی فائق آید. لوباچفسکی با اشتیاق بسیار کار می کرد. دانش های که او در ظرف دو یا سه سال به آنها پرداخت، واقعا حیرت آور است. تردید نمی توان کرد که لوباچفسکی تنوع آگاهی های ریاضی خود و دقت ذهنی اش را در این زمینه، به طور عمده مدیون بارتل است.
لوباچفسکی به جز ریاضیات به فیزیک و اخترشناسی هم پرداخت، به نحوی که پس از دانشگاه می توانست این دانش ها را تعلیم دهد، حتی بعدها کرسی های این دانش ها را اشغال کرد. لوباچفسکی در سال ۱۸۱۴ به دستیاری دانشگاه منصوب شد هر چند که در این زمان تعداد استادان به طور قابل ملاحظه ای افزایش یافته بود ولی هنوز دانشگاه نتوانسته بود به صورت یک موسسه آموزش عالی به معنای دقیق کلمه درآید و مطابق برنامه اش کار کند. در سال ۱۸۱۴ افتتاح کامل دانشگاه با کادری که در برنامه سال ۱۸۰۴ سال تاسیس دانشگاه پیش بینی شده بود انجام گرفت. دانشگاه طی دورانی که متاسفانه دراز نبود، منظره عادی یک موسسه آموزشی عالی را به خود گرفت. فعالیت آن به طور قابل ملاحظه ای افزایش یافت که لوباچفسکی هم در آن شرکت داشت. در آن زمان او بیش از ۲۲سال نداشت و درس هایش او را به کلی به خود مشغول کرده بود. دو سال به استادی انتخاب شد. ولی همان طور که اشاره شد این دوره نسبتا آرام حیات دانشگاه قازان زیاد نپایید. در سال ۱۸۱۹ از طرف بعضی مرتجعین و بدخواهان گزارشی تهیه شد که شامل مجموعه ای از اتهام ها و دروغ ها بود و» انحلال رسمی «دانشگاه قازان را پیشنهاد کرد. این پیشنهاد پذیرفته نشد لیکن به خدمت ۹ استاد خاتمه دادند و استادان خارجی که کرسی های علمی را در اختیار داشتند روسیه را ترک گفتند. وضع دانشکده علوم فیزیک و ریاضی، بیش از هر جای دیگر اسف انگیز بود. با عزیمت چند استاد به خارج از روسیه و فوت یکی از استادان تقریبا تمامی آموزش ریاضیات و فیزیک، به گردن لوباچفسکی جوان افتاده بود و کاملا طبیعی است که این وظیفه تمامی وقت و نیروی لوباچفسکی را می گرفت. لوباچفسکی مجبور شد در انزوای کامل و دور از مراکز اروپایی اندیشه ریاضی خود را به کار گیرد.
امروزه می توان از یکی از درس هایی که لوباچفسکی برای دانشجویان سال اول در نظر گرفته بود، با عنوان »هندسه مقدماتی از دیدگاه ریاضیات عالی« مشخص کرد. هدف این درس این بود که به طور جدی تر روشن کند اصول بنیادی هندسه را نمی توان روی نیمکت های دبیرستانی درست کرد. لوباچفسکی به طور کلی روی طرحی کار می کرد که دالامبر ریاضیدان و دایره المعارف نویس نامی در یکی از نوشته های خود در دایره المعارف اش عنوان کرده بود. او در سال ۱۸۲۳، خلاصه ای از این درس را زیر نام «هندسه» تنظیم و درخواست چاپ آن را کرد. سرپرست دانشگاه، با توجه به اظهارنظر نامساعد فوس یکی از اعضای فرهنگستان این درخواست را رد کرد. وقتی که سرپرست دانشگاه دستنویس لوباچفسکی را برای فوس فرستاد، نامی از یک جزوه دبیرستانی است. ولی فوس با لوباچفسکی هم خوب نبود، زیرا لوباچفسکی در نوشته های خود از دستگاه متری، تقسیم صدقسمتی زاویه و غیره که ناشی از انقلاب فرانسه بود جانبداری می کرد و این اندیشه ها به نظر فوس، مولود زمانی بود که در آن خشم از میان برداشتن تمامی گذشته، تا تقویم و تقسیم های دایره گسترش یافته بود. اجازه چاپ رد شد لیکن بعدها در سال ۱۸۹۸، نوشته لوباچفسکی در بایگانی مدیر آموزش ناحیه قازان پیدا شد. لوباچفسکی در این کتاب با طرح اندیشه های بنیانی هندسه مقدماتی نمی توانست از اصل موضوع توازی چشم بپوشد. لوباچفسکی ضمن بیان این اصل موضوع می افزاید: تاکنون اثبات دقیقی از این حکم به دست نیامده است.
آنچه را که تاکنون به نام اثبات آورده اند، توضیحاتی بیش نمی توان نامید و استحقاق این را ندارد که همچون اثبات واقعی ریاضی در نظر گرفت. از این جمله ها می توان دریافت که لوباچفسکی از سال ۱۸۲۳ به روشنی متقاعد شده بود که هیچ کدام از اثبات های اصل موضوع پنجم اقلیدس که تا آن زمان عرضه شده بود، نمی توانست قانع کننده باشد. با این وصف، او در این کتاب امکان پیدا کردن یک اثبات کامل را نفی نمی کند، سال های بعد، لوباچفسکی تمامی دقت خود را روی این مسئله متمرکز کرد و بالاخره توانست به حل مسئله ای که در طول دو هزار سال همچون یک معما جلوه می کرد توفیق یابد. لوباچفسکی در ۲۳ فوریه سال ۱۸۲۶، در برابر بخش فیزیک و ریاضی دانشکده، نطقی ایراد کرد که بعدا به صورت یک یادداشت به زبان فرانسه و زیر عنوان »گزارش کوتاهی از اصول هندسی همراه با اثبات دقیق قضیه موازی ها «ارائه شد.
می توان گفت که در همین روز بود که هندسه نااقلیدسی متولد شد. لوباچفسکی همچون بیشتر ریاضیدانان پیش از خودش، تلاش می کند که اصل موضوع توازی را، از راه برهان خلف، ثابت کند. او فرض می کند که: از نقطه C واقع در خارج خط راست AB و در صفحه ای که از خط AB و نقطه C می گذرد، می توان بیش از یک خط راست رسم کرد، به نحوی که هیچ کدام از آنها، خط AB را قطع نکنند. او از این فرض، که این نتیجه گیری ها، که بسیار دقیق و استادانه به هم پیوسته اند، به هیچ گونه تناقضی منجر نمی شوند، بلکه برعکس خود یک هندسه کامل و هماهنگ را تشکیل می دهند که لوباچفسکی آن را «هندسه تخیلی» می نامد. گاوس به این هندسه نام «هندسه نااقلیدسی» را می دهد و ما امروز آن را هندسه هذلولی یا هندسه لوباچفسکی  می نامیم. در آن زمان تنها یک آدم بانفوذ بود که کار لوباچفسکی را می فهمید و به آن ارج می گذاشت: گاوس ولی او هم تنها ۱۱سال بعد از نشر نخستین شرح حال لوباچفسکی در »پیام قازان «وقتی که کتاب کوچک لوباچفسکی با نام »بررسی های هندسی درباره موازی ها «که در ۱۸۴۰ منتشر شده بود به دستش رسید، با کارهای هندسه دان بزرگ آشنا شد. وقتی که گاوس این کتاب را که یکی از شاهکارهای ریاضی است به دقت بررسی کرد به ارزش واقعی آن پی برد و در نامه هایی که برای دوستانش گرلینگ و شوماخر فرستاد، با کلماتی گرم کتاب را به آنها توصیه کرد.
او تا اندازه ای برای دسترسی به سایر نوشته های لوباچفسکی حتی زبان روسی را فراگرفت و به جامعه علمی گوتینگن که در آن زمان ماهیت یک فرهنگستان را داشت کمک و شخصا از انتخاب او پشتیبانی کرد. در مطبوعات روسی و آلمانی آن زمان، مقاله های زیادی نشر یافت که کارهای لوباچفسکی را به مسخره می گرفت. حمله هایی که لوباچفسکی را هدف قرار می داد، از طرف کسانی بود که قدرت درک اندیشه های او را نداشتند و این دانشمند نابغه را دچار تلخکامی می کردند. در زندگی لوباچفسکی نه تنها از او تحسین نشد بلکه با هندسه نااقلیدسی با دشمنی و کوتاه بینی برخورد کردند و او را آماج نیشخندهای فراوان قرار دادند. مقاله های نیشدار و پراستهزا، از طرف افراد بانفوذ علیه او چاپ شد، بدون اینکه بتواند به آنها پاسخ دهد. از چاپ اعتراض های او جلوگیری می کردند. چنین بود وضع غم انگیز لوباچفسکی وضعی مشابه آنچه که برای تاورینوس و بولیایی دیگر پیشروان آفرینش هندسه نااقلیدسی پیش آمد و اولی را به جنون دچار کرد و دومی را در مالیخولیای عمیقی فرو برد. چه عامل هایی لوباچفسکی را از چنین سرنوشتی رهایی بخشید بیش از همه قدرت روحی، انرژی، ظرفیت کار و اعتقاد بی حدی که به آموزش عمومی و به خصوص علاقه ای که به دانشگاه قازان داشت. لوباچفسکی از ۲۰سالگی تا پایان زندگی اش، دست از فعالیت سخت خود به خاطر کارهای اداری و اجتماعی نکشید، به نحوی که حتی تا امروز هم اثر آن را در دانشگاه قازان می توان دید. در سال ۱۸۲۷ لوباچفسکی به سمت ریاست دانشگاه برگزیده شد.
او بلافاصله آغاز به کار کرد. لوباچفسکی بیش از ۳۳سال نداشت ولی با وجود کمی تجربه اش در امور اداری، توانست به طور کامل امیدهایی را که به او بسته بودند برآورده سازد. میزان احترامی که برای او به عنوان رئیس دانشگاه قائل بودند، از اینجا می توان فهمید که شش بار متوالی به این سمت برگزیده شد و این مسئولیت را در حدود ۲۰سال از ۱۸۲۷ تا ۱۸۴۶ به عهده داشت. دانشگاه با مدیریت لوباچفسکی کادر آموزشی خود را تا آنجا که در آن زمان مقدور بود تکامل بخشید.
با مشارکت فعال او، کتابخانه دانشگاه، یکی از غنی ترین کتابخانه های کشور شد و در همه دانشکده ها، مجموعه های علمی مهم گردآوری شد. لوباچفسکی نشریه علمی دانشگاه قازان را تاسیس کرد که تا امروز هم ادامه دارد. لوباچفسکی برای گسترش ساختمان دانشگاه هم تلاش های زیادی کرد و اعتبارهای لازم را به دست آورد. به مناسبت اینکه رئیس کمیسیون ساختمان ها بود، برای اینکه بهتر بتواند وظیفه های خود را انجام دهد، حتی به تحصیل معماری پرداخت. وقتی که هنگام دیدار از شهر قازان، بپرسید که ساختمان های دانشگاه در چه تاریخی به شکل امروزی درآمده است، به شما پاسخ خواهند داد که این کار لوباچفسکی است. این مرد بزرگ نشان خود را در هر گوشه دانشگاه و در زمینه های به کلی گوناگون آن باقی گذاشته است.
لوباچفسکی طی دوران فعالیت خویش در دانشگاه قازان، هرگز تدریس خود را قطع نکرد و به خاطر نیازی که وجود داشت در حدود ۴۰سالگی در سال ۱۸۳۲ ازدواج کرد. در سال ۱۸۴۶ ، ۳۰ سال از دوران استادی لوباچفسکی می گذشت. بنابر مقررات دانشگاه این حداکثر مدتی بود که یک استاد می توانست یک کرسی را اشغال کند. شورای دانشگاه طی درخواستی از لوباچفسکی خواست که در زمره استادان باقی بماند و سمت مدیریت خود را حفظ کند و تاکید می کند که این افتخار بزرگی برای دانشگاه است. ولی لوباچفسکی این درخواست را نپذیرفت و خواستار بازنشستگی شد.
شاید بسیار عجیب باشد ولی واقعیت دارد که تعداد فرزندان لوباچفسکی به درستی معلوم نیست و مشخص کردن آنها دشوار است. یکی از دختران لوباچفسکی در خاطرات خود می نویسد که پدر و مادر او ۱۵ بچه داشتند. برادرش از عدد ۱۸ صحبت می کند که احتمال درستی آن کم است. کاملا ممکن است که بعضی ها در سنین پایین و حتی به محض تولد، درگذشته باشند. ولی آنچه مسلم است، تعدادشان زیاد بود. فوت بعضی از فرزندان و بلاهای سخت خانوادگی دیگر به شدت بر لوباچفسکی اثر گذاشت. نیکلای ایوانوویچ شاد و سرزنده، دیگر پیر شده و فرتوتی زودرس به سراغش آمده بود. لوباچفسکی همیشه مراقب همکاران، زیردستان و به ویژه دانشجویان بود و با روی خوش از آنها استقبال می کرد.
با وجود این، او احساس می کرد که تقریبا همه کسانی که سابقا با او بودند و با کمال میل و رغبت به خانه او رفت و آمد می کردند، او را ترک گفته اند. او غالبا غم زده و اندوهگین می نشست و پیپ می کشید.
وحشت آورتر از همه تهدید کوری بود. اغلب کوری لوباچفسکی را به خاطر ریز نوشتن او می دانند، هر چند که ممکن است این موضوع بی اثر نبوده باشد اما علت اصلی در جایی دیگر بود. کار بی وقفه، شدت کوشش ذهنی مداوم و گرفتاری های سختی که لوباچفسکی در تمامی طول زندگی خود گرفتار آنها بود، تصلب زودرسی را موجب شده بود که عواقب دیگر آن هم به زودی پدیدار شد.توجه احترام انگیز به او و یا یک موفقیت ناچیز، کافی بود که او را تسکین دهد و تا مدتی روحیه اش را بهبود بخشد.
او مجبور شد در سال پیش از مرگش به علت نابینایی کتابش را با استفاده از شاگردانش تقریر کند تا برایش بنویسند. وقتی که لوباچفسکی به عضویت افتخاری دانشگاه مسکو به مناسبت صدمین سالگرد فعالیت این دانشگاه درآمد، نامه زیر را دریافت کرد:
با احساس قدردانی از خوبی های شما در حق دولت و دانش، دانشگاه امپراتوری مسکو، با اعتقاد کامل به اینکه شما از هرچه که بتوانید در امر توسعه دانشگاه دریغ نخواهید کرد، شما را در زمره عضوهای افتخاری خود برگزیده است. همراه این نامه، گواهینامه مربوط به این عنوان را با یک مدال نقره و یک نسخه از همه آثار منتشر شده به مناسبت یکصدمین سال تقدیم می دارد و از جنابعالی تقاضا دارد آنها را بپذیرید.
لوباچفسکی به عضویت افتخاری دانشگاه قازان هم برگزیده شد، ولی هیچ کدام از اینها نتوانست برای زندگی رو به خاموشی او تسلایی باشد. او در ۱۲ فوریه سال ۱۸۵۶ در سن ۶۴ سالگی بدرود زندگی گفت. در سال ۱۹۸۶ بنای یادبودی برای او در قازان ساخته

هندسه زندگی

---

دلم میخواهد زندگی را از زاویه ای دیگر ببینم.
دوست دارم نگاه هندسی به زندگی داشته باشم و محیطپیرامون خود را با دیدی نو محاسبه کنم.
دلم میخواهد مساحت عمرم را بسنجم و به شخصیتم شکل مناسبی بدهم.
میتوانم زندگی را مربعی فرض کنم که اضلاع ان را ایمان- هدف -امیدو عشقتشکیل داده اند یا مثلثی
که زاویه های ان علم-ایمان و انسانیت باشد.
میتوانم مرکز دایره حیاتم را انتخابهای خوب قراردهم.
چرا سطحی بیندیشم ؟ وقتی دوست دارم به افکار و زندگیم عمق دهم و میتوانم حجم معنویتم را افزونسازم.من میتوانم از نقطه های خط عمرم خطی مستقیم در جهت خوبی و مهربانی ترسیمکنم.
من دلم میخواهد زندگیم بر قاعده پاکی استوار باشد.به موازات حق پیش بروم و زاویهدیدم باز باشد.
وقتی این قدر توانایی دارم چرا شکل غیر منتظم باشم و از میان خطوط خط های شکستهو منحنی را
برگزینم؟
من میتوانم منشوری باشم شفاف که از هر سو جلوه ای خاص دارد.
منشوری که نور را به راحتی تجزیه میکند و فضا را با رنگهای دلپذیر و جذابمحبت-امید-عشق- و عرفان می آراید

__________________ چه خوب شد آن گاو مردفیلسوفی همراه با شاگردانش در حال قدم زدن در یک جنگل بودند و درباره اهمیت ملاقات های غیرمنتظره گفتگو می کردند. بر طبق گفته های استادتمامی چیز هایی که در مقابل ما قرار دارند به ما شانس و فرصت یادگیری و یا آموزش دادن را می دهند.
در این لحظه بود که به خانه ای محلی رسیدند که علیرغم آنکه در مکان بسیار مناسب واقع شده بود.ظاهری بسیار حقیرانه داشت.
شاگردی گفت :
-این مکان را ببینید.شما حق داشتید.من در اینجا این را آموختم که بسیاری از مردم ،در بهشت بسر می بردند،اما متوجه آن نیستند و همچنان در شرایطی بسیار بد و محقرانه زندگی می کنند.
استاد گفت:
-من گفتم آموختن و آموزش دادن مشاهده امری که اتفاق می افتد،کافی نمی باشد. باید دلایل را بررسی کرد.پس فقط وقتی این دنیا را درک می کنیم که متوجه علتهای ان بشو یم. سپس در آن خانه را زدند و مورد استقبال ساکنان آن قرار گرفتند. زن و شوهری و با 3 فرزند ،با لباسهای پاره و کثیف.
استاد خطاب به پدر خانواده می گوید:
-شما در اینجا در میان جنگل زندگی می کنید،در این اطراف هیچ گونه کسب و تجارتی وجود ندارد؟چگونه به زندگی خود ادامه می دهید؟
و آن مرد نیز در آرامش کامل پاسخ داد:
- ما در اینجا گاوی داریم که همه روزه ،چند لیتر شیر به ما می دهد.یک بخش از محصول را یا می فروشیم و یا در شهر همسایه با دیگر مواد غذایی معاوضه می کنیم.با بخش دیگر اقدام به تولید پنیر ،کره و یا خامه برای مصرف شخصی خود می کنیم.و به این ترتیب به زندگی خود ادامه می دهیم.
استاد فیلسوف از بابت این اطلاعات تشکر کرد و برای چند لحظه به تماشای آن مکان پرداخت و از آنجا خارج شد.در میان راه،رو به شاگردان کرد وگفت:- آن گاو را از آنها دزدیده و از بالای آن صخره روبرویی به پایین پرت کنید.
- اما آن حیوان تنها راه امرار معاش آن خانواده است.
و فیلسوف نیز ساکت ماند ...آنها بدون آنکه هیچ راه دیگری داشته باشد،همان کاری را کردند که دستور داده شده بود و ان گاو نیز در آن حادثه مرد.
این صحنه در ذهن آن جوان باقی ماند و پس از سالها ،زمانی که دیگر یک بازرگان موفق شده بود،تصمیم گرفت تا به همان خانه بازگشته و با شرح ما وقع از آن خانواده تقاضای بخشش کرده و به ایشان کمک مالی نماید.
اما چیزی که باعث تعجبش شد این بود که آن منطقه تبدیل به یک مکان زیبا شده بود با درختانی شکوفه کرده،ماشینی که در گاراژ پارک شده و تعدادی کودک که در باغچه خانه مشغول بازی بودند.با تصور این مطلب که آن خانواده برای بقای خود مجبور به فروش آنجا شده اند،مایوس و ناامید گردید. وقتی در را هل داد و وارد خانه شد مورد استقبال یک خانواده بسیار مهربان قرار گرفت.
سوال کرد:
-آن خانواده که در حدود 10 سال قبل اینجا زندگی می کردند کجا رفتند؟
جوابی که دریافت کرد،این بود:
-آنها همچنان صاحب این مکان هستند.
وحشت زده و سراسیمه و دوان دوان وارد خانه شد.صاحب خانه اورا شناخت واز احوالات استاد فیلسوفش پرسید.اما جوان مشتاقانه در پی آن بود که بداند چگونه ایشان موفق به بهبود وضعیت آن مکان .زندگی به آن خوبی شده اند.
آن مرد گفت:
-ما دارای یک گاو بودیم،اما وی از صخره پرت شد و مرد.در این صورت بود که برای تامین معاش خانواده ام مجبور به کاشت سبزیجات و حبوبات شدم.گیاهان و نباتات با تاخیر رشد کردند و مجبور به بریدن مجدد درختان شدم و پس از ان به فکر خرید چرخ نخ ریسی افتادم و با آن بود که به یاد لباس بچه هایم افتادم ،و با خود همچنین فکر کردم که شاید بتوانم پنبه هم بکارم.به این ترتیب یکسال سخت گذشت،اما وقتی خرمن محصولات رسید،من در حال فروش و صدور حبوبات ،پنبه و سبزیجات معطر بودم .هرگز به این مسله فکر نکرده بودم که همه قدرت و پتانسیل من در این نکته خلاصه می شد که :چه خوب شد آن گاو مرد هندسه هم هندسه ی قدیم!

خدا را شکر که استاد غیور در بین ما نیست که ببیند چه بلایی بر سر کتابهای درسی هندسه آورده اندکه اگر می بود هیچ گاه حاضر نمی شد هندسه دبیرستانی به چنین مصیبتی گرفتار آید. ایشان حتی نسبت به همان هندسه نظام قدیم که پرمغزو عالی بود نیز نظرات ارزنده ای داشتند و اعتقاد داشت که باید به آن مطالبی افزود . در مصاحبه با ایشان که در تابستان 1368 در مجله رشد شماره 22 منتشر شده است . در پاسخ به این پرسش که چه تغییراتی در کتابهای هندسه ی دبیرستانی ( آن زمان ) ضرورت دارد ؟ به شرح زیر پاسخ داده اند .

تغییراتی که باید در هندسه های اول تا سوم انجام شود اضافه کردن ترکیب، تبدیلهای انتقال و تقارن و دوران است که قبلاً بوده و حذف شده است و اضافه شدن قضیه تصویر شکل مسطح روی صفحه است که جا مانده است در کتاب چهارم که خود من در تألیف آن دخالت تام و تمام داشته ا م دو تبدیل قطب و قطبی و انعکاس و تصویر مرکزی روی صفحه باید اضافه شود و همینطور تقسیم غیر توافقی . علت این که در سال 1359 این تبدیلات از برنامه دبیرستان حذف شد ، در آن دوران بود که می خواستند هندسه را هم به کلی از برنامه دبیرستانها در همه دنیا حذف کنند که بعدها تغییر روش دادند !!

«نمردیم و دانستیم که دشمنی و کینه توزی با هندسه سر دراز دارد و مخصوص همین نظام جدید آموزشی خودمان تنها نیست ! »

استاد بزرگ هندسه و علاقه به شعر و شاعری

استاد در این خصوص می گویند :

علاقه من به شعر و شاعری سابقه طولانی دارد . پدر من حاجی شیخ صادق مردی ادیب و عربی دان بود . اغلب اشعار مولوی و حافظ و بابا طاهر و حتی اشعار عربی دوره ی جاهلیت را از حفظ داشت . من در کلاس ششم ابتدایی و اول و دوم متوسطه گلستان سعدی و مقدمه بوستان و بسیاری از حکایات آن را از حفظ بودم و شعر هم می گفتم ولی پنهان از پدر و برادرم ؛ زیرا هر دو مخالف بودند که من شاعر شوم . بر اثر اشتغال به درسهای ریاضی و فیزیک مکانیک که پیش خود یاد می گرفتم شعر را کنار گذاشتم و دفتر شعرم را آتش زدم . از آن دفتر یک دو بیتی که به دوست همکلاسیم داده بودم و یک قطعه بر جامانده است .

و این هم آن دو بیتی :

این عکس که صورتیست بی جان/دانم به یقین نه در خور توست/عکس تو بود به خاطر من/عکس من اگر به دفتر توست

از سال 25 به بعد گاهگاه شعر هایی در سیر و سیاحت در دامنه الوند زادگاه خود یا در دوره ی تحصیل دانشگاهی یا سال 40 به بعد ؛ سروده ام . در این دوران بر خلاف دوره طفولیت و نو جوانی ؛ همواره شعر به سراغ من آمده است و اگر خوب از آب در آمده آن را یادداشت کرده ام . در سال 36 برادرم که در تهران می زیست 33 قطعه از اشعار مرا در چاپخانه محمد علی علمی به چاپ رسانید . این مجموعه بنام رؤیا تقدیم به استاد بزرگوار دکتر محسن هشترودی شده است .

به دل کوه زنم کز دل و جان/رفع دلتنگی و اندوه کنم/راز دل با همه گفتن نتوان/درد دلها همه با کوه کنم از قطعه ی دل کوه مجموعه رویا



استاد غیور در تدریس هندسه توجه و تأکیدخاصی بر اهمیت اصول هندسی داشتند ؛ وی می گوید :

بسیاری از دانش آموزان ممتاز و حتی بعضی از دبیران اوقات گرانبها و عزیز خود را صرف این می کنندکه بعضی از مسائل معروف لاینحل را حل کنند و کار بزرگی را انجام دهند در صورتی که با توجه به اصول هندسه ممکن نیست..مثلاً این گزاره که دانشمندان گفته اند ( تثلیث زاویه محال است ) خود چون قضیه ای در هندسه اقلیدسی است ، بنابر این درست است . در چهار سالی که در مجله رشد ریاضی کار می کنم . « این مطلب از رشد ریاضی شماره 25 بهار 1369 نقل می شود » هر هفته 3 تا 4 نامه دارم ، که در آنها برای اثبات تثلیث زاویه قلم فرسایی کرده اند در صورتیکه در مجله رشد شماره 5 و 6 آقای دکتر جمالی ثابت کرده است که تثلیث زاویه محال است .

همکاری مرحوم غیور با رشد ریاضی تا سال 1372 ادامه داشت و سلسله مقالات ارزشمندی از ایشان در زمینه هندسه در این مجله به چاپ رسید .از جمله دیگر تألیفات ایشان کتاب هندسه چهارم ( نظام قدیم ) ، کتاب هندسه تحلیلی ، کتاب هندسه برای مراکز تربیت معلم و تحقیقاتی در زمینه جبر برداری و موارد استعمال آن در هندسه می باشهندسه هم هندسه ی قدیم!

خدا را شکر که استاد غیور در بین ما نیست که ببیند چه بلایی بر سر کتابهای درسی هندسه آورده اندکه اگر می بود هیچ گاه حاضر نمی شد هندسه دبیرستانی به چنین مصیبتی گرفتار آید. ایشان حتی نسبت به همان هندسه نظام قدیم که پرمغزو عالی بود نیز نظرات ارزنده ای داشتند و اعتقاد داشت که باید به آن مطالبی افزود . در مصاحبه با ایشان که در تابستان 1368 در مجله رشد شماره 22 منتشر شده است . در پاسخ به این پرسش که چه تغییراتی در کتابهای هندسه ی دبیرستانی ( آن زمان ) ضرورت دارد ؟ به شرح زیر پاسخ داده اند .

تغییراتی که باید در هندسه های اول تا سوم انجام شود اضافه کردن ترکیب، تبدیلهای انتقال و تقارن و دوران است که قبلاً بوده و حذف شده است و اضافه شدن قضیه تصویر شکل مسطح روی صفحه است که جا مانده است در کتاب چهارم که خود من در تألیف آن دخالت تام و تمام داشته ا م دو تبدیل قطب و قطبی و انعکاس و تصویر مرکزی روی صفحه باید اضافه شود و همینطور تقسیم غیر توافقی . علت این که در سال 1359 این تبدیلات از برنامه دبیرستان حذف شد ، در آن دوران بود که می خواستند هندسه را هم به کلی از برنامه دبیرستانها در همه دنیا حذف کنند که بعدها تغییر روش دادند !!

«نمردیم و دانستیم که دشمنی و کینه توزی با هندسه سر دراز دارد و مخصوص همین نظام جدید آموزشی خودمان تنها نیست ! »

استاد بزرگ هندسه و علاقه به شعر و شاعری

استاد در این خصوص می گویند :

علاقه من به شعر و شاعری سابقه طولانی دارد . پدر من حاجی شیخ صادق مردی ادیب و عربی دان بود . اغلب اشعار مولوی و حافظ و بابا طاهر و حتی اشعار عربی دوره ی جاهلیت را از حفظ داشت . من در کلاس ششم ابتدایی و اول و دوم متوسطه گلستان سعدی و مقدمه بوستان و بسیاری از حکایات آن را از حفظ بودم و شعر هم می گفتم ولی پنهان از پدر و برادرم ؛ زیرا هر دو مخالف بودند که من شاعر شوم . بر اثر اشتغال به درسهای ریاضی و فیزیک مکانیک که پیش خود یاد می گرفتم شعر را کنار گذاشتم و دفتر شعرم را آتش زدم . از آن دفتر یک دو بیتی که به دوست همکلاسیم داده بودم و یک قطعه بر جامانده است .

و این هم آن دو بیتی :

این عکس که صورتیست بی جان/دانم به یقین نه در خور توست/عکس تو بود به خاطر من/عکس من اگر به دفتر توست

از سال 25 به بعد گاهگاه شعر هایی در سیر و سیاحت در دامنه الوند زادگاه خود یا در دوره ی تحصیل دانشگاهی یا سال 40 به بعد ؛ سروده ام . در این دوران بر خلاف دوره طفولیت و نو جوانی ؛ همواره شعر به سراغ من آمده است و اگر خوب از آب در آمده آن را یادداشت کرده ام . در سال 36 برادرم که در تهران می زیست 33 قطعه از اشعار مرا در چاپخانه محمد علی علمی به چاپ رسانید . این مجموعه بنام رؤیا تقدیم به استاد بزرگوار دکتر محسن هشترودی شده است .

به دل کوه زنم کز دل و جان/رفع دلتنگی و اندوه کنم/راز دل با همه گفتن نتوان/درد دلها همه با کوه کنم از قطعه ی دل کوه مجموعه رویا



استاد غیور در تدریس هندسه توجه و تأکیدخاصی بر اهمیت اصول هندسی داشتند ؛ وی می گوید :

بسیاری از دانش آموزان ممتاز و حتی بعضی از دبیران اوقات گرانبها و عزیز خود را صرف این می کنندکه بعضی از مسائل معروف لاینحل را حل کنند و کار بزرگی را انجام دهند در صورتی که با توجه به اصول هندسه ممکن نیست..مثلاً این گزاره که دانشمندان گفته اند ( تثلیث زاویه محال است ) خود چون قضیه ای در هندسه اقلیدسی است ، بنابر این درست است . در چهار سالی که در مجله رشد ریاضی کار می کنم . « این مطلب از رشد ریاضی شماره 25 بهار 1369 نقل می شود » هر هفته 3 تا 4 نامه دارم ، که در آنها برای اثبات تثلیث زاویه قلم فرسایی کرده اند در صورتیکه در مجله رشد شماره 5 و 6 آقای دکتر جمالی ثابت کرده است که تثلیث زاویه محال است .

همکاری مرحوم غیور با رشد ریاضی تا سال 1372 ادامه داشت و سلسله مقالات ارزشمندی از ایشان در زمینه هندسه در این مجله به چاپ رسید .از جمله دیگر تألیفات ایشان کتاب هندسه چهارم ( نظام قدیم ) ، کتاب هندسه تحلیلی ، کتاب هندسه برای مراکز تربیت معلم و تحقیقاتی در زمینه جبر برداری و موارد استعمال آن در هندسه می باشد .د .

هشت موضوع شگفت انگیز از زندگی آلبرت انیشتین

---

هشت موضوع شگفت انگیز از زندگی آلبرت انیشتین که شما هیچ گاه آنان را نمی دانستید. بله، همگی ما می دانیم که

انیشتین این فرمول (e=mc2) را کشف کرد. اما واقعیت آن است که چیز های کمی در مورد زندگی خصوصیش می دانیم، خودتان

را با این هشت مورد، شگفت زده کنید!

1- او با سر بزرگ متولد شد

وقتی انیشتین به دنیا آمد او خیلی چاق بود و سرش خیلی بزرگ تا آنجایی که مادر وی تصور می کرد، فرزندش ناقص است، اما

بعد از چند ماه سر و بدن او به اندازه طبیعی باز گشت.

2- حافظه اش به خوبی آنچه تصور می شود، نبود

مطمئناً انیشتین می توانسته کتاب های مملو از فرمول و قوانین را حفظ کند، اما برای به یاد آوری چیز های معمولی واقعاً حافظه

ضعیفی داشته است. او یکی از بدترین اشخاص در به یاد آوردن سالروز تولد عزیزان بود و عذر و بهانه اش برای این فراموشکاری،

مختص دانستن آن ( تولد ) برای بچه های کوچک بود.

3- او از داستان های علمی- تخیلی متنفر بود

انیشتین از داستان های تخیلی بیزار بود. زیرا که احساس می کرد، آنها باعث تغییر درک عامه مردم از علم می شوند و در عوض

به آنها توهم باطلی از چیزهایی که حقیقتاً نمی توانند اتفاق بیفتند می دهد.

به بیان او "من هرگز در مورد آینده فکر نمی کنم، زیرا که آن به زودی می آید." به این دلیل او احساس می کرد کسانی که به طور

مثال بشقاب پرنده ها را می بینند باید تجربه هایشان را برای خود نگه دارند.

4- او در آزمون ورودی دانشگاه اش رد شد

در سال 1895 در سن 17 سالگی، انیشتین که قطعاً یکی از بزرگترین نوابغی است که تاکنون متولد شده، در آزمون ورودی

دانشگاه فدرال پلی تکنیک سوئیس رد شد.

در واقع او بخش علوم و ریاضیات را پشت سر گذاشت ولی در بخش های باقیمانده، مثل تاریخ و جغرافی رد شد. وقتی که بعد ها

در این رابطه از او سوال شد؛ او گفت: آنها بینهایت کسل کننده بودند، و او تمایلی برای پاسخ دادن به این سوالات را در خود

احساس نمی کرد.

5- علاقه ای به پوشیدن جوراب نداشت

انیشتین در سنین جوانی یافته بود که شصت پا با عث ایجاد سوراخ در جوراب می شود. سپس تصمیم گرفت که دیگر جوراب به پا

نکند و این عادت تا زمان مرگش ادامه داشت.

علاوه بر این او هرگز برای خوشایند و عدم خوشایند دیگران لباس نمی پوشید، او عقیده داشت یا مردم او را می شناسند یا نمی

شناسند. پس این مورد قبول واقع شدن ( آن هم از روی پوشش ) چه اهمیتی می تواند داشته باشد؟

6- او فقط یک بار رانندگی کرد

انیشتین برای رفتن به سخنرانی ها و تدریس در دانشگاه ، از راننده مورد اطمینانش کمک می گرفت. راننده وی نه تنها ماشین او

را هدایت می کرد ، بلکه همیشه در طول سخنرانی ها در میان شنوندگان حضور داشت.

انیشتین، سخنرانی مخصوص به خود را انجام می داد و بیشتر اوقات راننده اش، به طور دقیقی آنها را حفظ می کرد.

یک روز انیشتین در حالی که در راه دانشگاه بود، با صدای بلند در ماشین پرسید: چه کسی احساس خستگی می کند؟

راننده اش پیشنهاد داد که آنها جایشان را عوض کنند و او جای انیشتین سخنرانی کند، سپس انیشتین به عنوان راننده او را به

خانه بازگرداند.

(عدم شباهت آنها مسئله خاصی نبود. انیشتین تنها در یک دانشگاه استاد بود، و در دانشگاهی که وقتی برای سخنرانی داشت،

کسی او را نمی شناخت و طبعاً نمی توانست او را از راننده اصلی تمیز دهد.)

او قبول کرد ، اما کمی تردید در مورد اینکه اگر پس از سخنرانی سوالات سختی از راننده اش پرسیده شود ، او چه پاسخی خواهد

داد، در درونش داشت.

به هر حال سخنرانی به نحوی عالی انجام شد، ولی تصور انیشتین درست از آب در آمد . دانشجویان در پایان سخنرانی انیشتین

جعلی شروع به مطرح کردن سوالات خود کردند.

در این حین راننده باهوش گفت:"سوالات به قدری ساده هستند که حتی راننده من نیز می تواند به آنها پاسخ گوید" سپس

انیشتین از میان حضار برخواست و به راحتی به سوالات پاسخ داد به حدی که باعث شگفتی حضار شد.

7- الهام گر او یک قطب نما بود

انیشتین در سنین نوجوانی یک قطب نما به عنوان هدیه تولد از پدرش دریافت کرده بود.

وقتی که او طرز کار قطب نما را مشاهده می نمود، سعی می کرد طرز کار آن را درک کند. او بعد از انجام این کار بسیار شگفت زده

شد. بنابراین تصمیم گرفت علت نیروهای مختلف در طبیعت را درک کند.

8- راز نهفته در نبوغ او

بعد از مرگ انیشتین در 1955 مغز او توسط توماس تولتز هاروی برای تحقیقات برداشته شد.

اما این کار به صورت غیر قانونی انجام شد. بعدها پسر انیشتین به او اجازه تحقیقات، در مورد هوش فوق العاده پدرش را داد.

هاروی تکه هایی از مغز انیشتین را برای دانشمندان مختلف در سراسر جهان فرستاد. از این مطالعات دریافت می شود که مغز

انیشتین در مقایسه با میانگین متوسط انسان ها، مقدار بسیار زیادی سلول های گلیال که مسئول ساخت اطلاعات هستند

داشته است. همچنین مغز انیشتین مقدار کمی چین خوردگی حقیقی موسوم به شیار سیلویوس داشته، که این مسئله امکان

ارتباط آسان تر سلول های عصبی را با یکدیگر فراهم می سازد.

علاوه بر این ها مغز او دارای تراکم و چگالی زیادی بوده است و همینطور قطعه آهیانه پایینی دارای توانایی همکاری بشتر با بخش

تجزیه و تحلیل ریاضیات است.

تهیه کننده:ریحانه اخوان

دبیر مربوطه:سرکارخانم رستگاری

کلاس:سوم ریاضی

اثبات منطقی یک رویکرد پرداختن به مسائل ریاضی و هندسه است و موجبات تشکیل یک بنای ریاضی قابل اعتماد و مستند را با اصول و تعاریف و قضایای مشخص ایجاد می­کند.

اما نکته در اینجاست که وظیفه ما ساخت این بنا نیست. یادگیری این بنا است. در یادگیری ممکن است لزوماً محفوظات در کار نباشند. ممکن است در جایی نیاز به تجریه کردن داشته باشیم و ممکن است لازم باشد روی یک مسئله با اینکه می­دانیم و اثبات منطقی کرده­ایم که درست است ساعت­ها از روی کنجکاوی به بررسی و تحقیق بپردازیم. آنان که به علم هندسه ارادت دارند، بی شک در خاطرات خود از حل مسئله­ای زیبا و یا یافتن پاسخ بعد از کوششی فراوان در شرایطی که انتظارش را ندارند سخن می­گویند. و این اتفاق آنها را به در مورد این رشته علمی از خود بی خود کرد. و این گونه ادراکات زمانی اتفاق می­افتد که زمینه ایجاد آن را در بستری امن فراهم آوریم.

نرم افزارهای های هندسه پویا محیطی با قابلیتهای فراوان و کارآمد برای ما فراهم آورده اند تا مسئله هایی را که ژیش از این حل شده اند را با کنجکاوی خود دوباره بررسی کنیم و از ابعاد متعدد دیگر باز بینی کنیم.

مدلی برای مراحل یادگیری

1- مشاهده: دانش آموزان مشاهدات خود را از مواد اوليه ، احاطه شده در زمينه طبيعيشان يا شبيه سازي هاي مربوط به آن را مي سازيم.

2- ساخت تفسير: دانش آموزان مشاهداتشان را تفسير و دلايلشان را توضيح مي دهند.

3- زمينه يابي: دانش آموزان زمينه اي را براي توضيح هايشان مي سازند.

4- شناخت نوآموزان: معلمان به دانش آموزان نوآموز كمك مي كنند كه در مشاهده و تفسير و زمينه يابي مسلط شوند.

5- مشاركت: دانش آموزان در مشاهدات تفسير و زمينه يابي با هم مشاركت مي كنند.

6- تفسير هاي چند گانه: دانش آموزان مي توانند به سهولت دانش خود را از طريق تفسير هاي چند گانه از دانش آموزان ديگر و يا مثال هايي از متخصصين بدست بياورند.

7- اظهارات چند گانه: دانش آموزان دانش قابل انتقالي را از طريق اظهارات چند گانه اي از همان تفسيرها بدست بياورند.

 این مدل توسط رابرت .او و مك كلتناك و جان . بي بلك ارائه داده شده است.

کاریری های تجربی در استفاده از هندسه پویا

1.    استفاده از برنامه­های هندسه­ی پویا در مقطع راهنمایی به پائین آوردن سطح هندسه مبتنی بر فرضیه­های استنتاجی شتاب خواهد بخشید. (ولی آنرا کاملاً فر نمیریزد.)

2.   قابلیتهای جدیدی برای انجام فعالیت­های تجربه­ای و اکتشافی وجود دارد. مثال­های زیاد به خوبی موارد ويژه با سرعت کاملاً زیاد می­تواند ایجاد و به تصویر کشیده شود.

3.       بسیاری از استدلال­های کلاسیک در حالت ترسیمی می­تواند به تصویر کشیده شود.

4.       از این طریق استفاده از کامپیوتر در اثبات­ها پیش قدم می­شود. ولی بیشتر به شکل دلایل توجیهی خواهد بود تا استدلال­های رسمی.

5.    آزمون­های اتفاقی کافی نیست. ارائه دانش درباره­ی استفاده از برنامه­ها و دستورالعمل­های آموزشی توسط معلمین ضروری است. در غیر این صورت تجربه­های آموزشی تنها آزمون­های کور محسوب خواهند شد.

6.     دستورالعمل­های آموزشی ویژه دانش­آموزان ضروری است برای ایجاد شکل­های مورد نظر حالت کشیدن صحیح ترسیمات و تجربه پدیده­ی مشاهده شده برای تبدیل بینش ایجاد شده به جملات ساخته شده صحیح لازم است.

۷. دستورالعمل­های آموزشی ویژه معلمین نیز برای توانمند کردن معلمین به استفاده از این ابزار و هدایت دانش آموزان به اکتشاف های کنترل شده ضروری است.

۸. برنامه های هندسه پویا تاکید را تغییر خواهند داد و جای خود را به عنوان ابزاری خ.اهد بود که اهداف گذشته را بهتر آموزش دهند.

 هندسه اقلیدسی

هندسهٔ اقلیدسی به مجموعهٔ گزاره‌هایِ هندسی‌ای اطلاق می‌شود که به بررسی موجودات ریاضیاتی مثل نقطه و خط می‌پردازد و بر پایه‌هائی که اقلیدس ریاضی‌دان یونانی در کتاب خود به‌نام اصول عرضه کرده، بنا شده‌است. این قضایایِ هندسی عمدتاً توسطِ یونانیانِ باستان کشف و توسطِ اقلیدسِ اسکندرانی گردآوری شده‌اند و بخش بزرگی از آن همان است که در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود. کتابِ «اصولِ» اقلیدس یکی از بزرگ‌ترین و تأثیرگذارترین کتاب‌ها چه بلحاظِ محتوا و چه از نظرِ روشِ اصلِ موضوعه‌ای‌اش بوده‌است. تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن می‌رفت منظور هندسه اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو بعد را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» می‌نامند. این مفاهیم را به ابعاد بالاتر از سه نیز می‌توان تعمیم داد و همچنان آن را هندسه اقلیدسی نامید.

تاریخچه

در حدود ۳۰۱ سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شود. روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آن‌ها بسیار دور از ذهن بودند.

اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان گرد آورد و به مدت دو هزار سال مرجعی بی‌بدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن ریاضیات محض می‌گوییم. محض از این نظر که با اندیشهٔ محض سر و کار دارد و از راه آزمون خطا و تجربه به دست نمی‌آید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمی‌توان اثبات یا نفی کرد. برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:

• شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
• شرط دوم: توافق بر این‌که کی و چگونه حکمی «به طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‌شود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.

کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‌نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دست‌چین کرد، و از آن‌ها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.

اصول موضوعه

تمامِ هندسهٔ اقلیدسی (تمامِ قضیه‌هایی که در دبیرستان می‌خوانیم، قضیهٔ فیثاغورس و غیره) می‌توانند از پنج اصلِ موضوعهٔ زیر استخراج شوند:

1. از هر دو نقطه یک خطِ راست می‌گذرد.

2. هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.

3. با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.

4. همهٔ زوایایِ قائمه با هم برابر اند.

5. اگر یک خط دو خطِ دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمعِ زوایایِ داخلیِ تولید شده توسطِ خطِ مورب کم‌تر از دو قائمه‌است به هم می‌رسند (خود یا امتدادشان).

برایِ بیانِ این اصولِ موضوعه به مفاهیمی مانندِ نقطه و خط نیاز داریم. همان‌طور که باید چند گزاره را بدونِ اثبات بپذیریم تا بقیهٔ گزاره‌ها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدونِ تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «تعریف‌نشده‌ها» می‌گویند. همان‌طور که دیده می‌شود اصولِ هندسهٔ اقلیدسی به جز اصلِ پنجم بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌آیند. به همین‌دلیل از زمانِ اقلیدس ریاضیدانانِ بیشماری در شرق و غرب (من‌جمله خیام ریاضیدانِ ایرانی) تلاش کرده‌اند اصلِ آزاردهندهٔ پنجم را به اثبات برسانند. این کار همواره شکست خورده‌است. سپس برخی ریاضیدانان تلاش نمودند خلافِ اصلِ پنجم را فرض کنند تا ببینند آیا هندسه‌ای متناقض پدید می‌آید یا نه. از آن‌جا که هیچ تناقضی در هندسه‌هایِ دارایِ اصلِ پنجمِ متفاوت دیده نشد به آن‌ها نامِ هندسه نااقلیدسی را دادند. در نتیجه این مسأله مطرح گردید که تجربه کدام هندسه را تأیید می‌کند. نظریهٔ نسبیت عام به این پرسش پاسخ می‌دهد.

اصول متعارفی

1. دو مقدار مساوی بامقدار سوم با هم مساوی اند.

2. اگر به دو مقدار مساوی مقادیر مساوی اضافه کنیم، حاصل جمع‌ها با هم مساوی اند.

3. اگر از دو مقدار مساوی مقادیر مساوی کم کنیم، باقیمانده‌ها با هم مساوی اند.

4. دو چیز قابل انطباق با هم برابر اند.

5. کل از جزء بزرگ‌تر است.

پس از اقلیدس

۲۱۰۰ سال پس از اقلیدس هندسهٔ او یگانه هندسهٔ موجود بود. با این وجود در طی این مدت طولانی ریاضی‌دان‌های زیادی کوشیدند اصل پنجم را از روی سایر اصل اثبات کنند که این کوشش‌ها سرانجام به نتیجهٔ دیگری منجر شد و در اوایل قرن نوزدهم هندسه‌های جدیدی به وجود آمد که هندسه‌های نااقلیدسی نامیده می‌شود. هندسه‌ای که تنها بر اساس چهار اصل اول اقلیدس ساخته می‌شود هندسه نتاری نامیده می‌شوند. دیوید هیلبرت در آخرین سال قرن نوزدهم (۱۸۹۹) کتاب «مبانی هندسه» خود را نوشت. هیلبرت در این کتاب صورت‌بندی دقیق‌تری از هندسهٔ اقلیدسی ارائه دارد.

تاريخچه هندسه

احتمالا بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌‌برد و لازم می‌‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب‌ را ابداع کردند. آنها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد.
در آغاز هندسه برپایه دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلا هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند.
یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را به صورت استدلالی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالا از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به‌نام او مشهور است اثبات کند. البته او واضع این قضیه نبود.

                 
اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌‌کرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آنها را به طور منظم، در یک مجموعه ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می‌‌رفتند.
براساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می‌‌گذشت، شاخه‌های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه می‌‌یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می‌‌کنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (572-500 ق.م) و زنون (490 ق.م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست می‌‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.
تقسیم بندی هندسه
هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌گردد:
هنـدسه مسطحه
هندسه فضائی.
هندسه خطی.
در هندسه مسطح، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب‌ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره‌ها و غیره است

تهیه وتنظیم:الهام پریشانی ومحجوبه روح اللهی

دو فرآیند تفکر در هندسه

تفکر در هندسه نیازمند دو فرآیند انتزاعی و شهودی است. در بسیاری از منابع نظری رشد شناختی تفکر شهودی و انتزاعی در دو حالت مجزا از تفکر محسوب می­شوند. (سوان 1993) بعنوان مثال در نظریه­ی کلاسیک رشد شناختی پیاژه (1971) بین تفکر انتزاعیو تفکر رسمی تمایز قائل شده است.

دانش­آموزان در تفکر شهودی می­توانند به حل مسائل ریاضی و منطقی بپردازند، اگر چه تفکر شهودی تنها مسائلی که در لحظه­ی حال وجود داشته باشد و اینکه بتوان از طریق انجام عملیات فیزیکی دستکاری­هایی را در مسئله صورت دارد، را حل می­کند. به عنوان مثال تفکر شهودی نمی­تواند مسائل انتزاعی کلامی را حل کند. مثلاً اینکه علی از رضا بلندتر است و رضا از احمد. اینکه چه کسی از همه بلندتر است؟ اگر چه کودکان با در اختیار داشتن چند قطعه چوب در اندازه­ها و رنگ­های مختلف مسائل این­چنینی را راحت­تر حل می­کنند. چوب قرمز بزرگ­تر از چوب زرد است. و چوب زرد از چوب آبی بزرگ­تر. کدام پوب بزرگ­تر است؟ در مقایسه می­توان گفت تفکر انتزاعی رسمی از حالت­های ذهنی سرچشمه می­گیرد تا از کارکردن­های فیزیکی. در واقع مهارتهای حل مسئله که به تجارب شهودی بستگی ندارند.

لیو و کامینگز(1997) دو فرآیند تفکر که برای یادگیری هندسه و طی مراحل مدل ون­هیل لازم است را توضیح داده­اند.

1)      فرآیند تفکری از شهودی به انتزاعی (CA)

2)      فرآیند تفکری از انتزاعی به شهودی (AC)

فرآیند CA با حس کردن اشیای ملموس توسط دانش­آموز و با تجربه­های جهان فیزیکی آغاز می­شود. این تحریکات فیزیکی از طریق حواس دریافت می­شود. و کیفیت خاص آن از طریق نظام احساسی درک می­شود. انتهای این فرآیند به صورت یک فرمول­بندی شخصی، ایده­ها و یا قوانینی درباره­ی چگونگی حس کردن و ایجاد مفاهیم انتزاعی در تجارب مشاهده شده خواهد بود.

فرآیند CA بیان­گر فرآیند تفکر استدلال استقرایی است. که از یک حقیقت معین (جزء) به یک نتیجه­گیری عمومی (کل) درباره­ی مفاهیم، ایده­ها و قوانین می­رسیم. [مثلاً با اندازه­گیری اقطار در چند مستطیل پی می­بریم همواره در مستطیل اقطار با هم برابرند.] فرآیند CA تفکر دانش­آموزان را با ایجاد تحریک انتقالی به گذراندن سه مراحل اول مدل ون­هیل هدایت می­کند. وقتی دانش­آموز از طریق فرآیند شهودی به انتزاعی می­اندیشد، تفکر او در مورد هندسه پیشرفت می­کند و در نهایت به مرحله­ی سوم ون­هیل که مرحله­ی رابطه­ای/ انتزاعی است می­رسد. در این رابطه لیو و کامینگز (1997) بیان می­کنند:

هنگاهی که دانش­آموز در این مفاهیم رشد می­کند، طرح هندسی خود را که کلیه­ی قواعد و روابطی که در این فرآیند یادگرفته است را گسترش داده است. و علاوه بر این با این پیشرفت وی خواهد توانست به راه­های پیچیده­تری از هندسه نسبت به حالتی که قضایای هندسی را تنها حفظ کرده است، دست پیدا کند.

در طرح ون­هیل، مرحله­ی رابطه­ای/ انتزاعی بالاترین سطحی که کودک می­تواند در هندسه تفکر کند نیست. وقتی که آن­ها به این مرحله می­رسند، کودک آماده است به مراحل بالاتر یادگیری از طریق AC است نیز دست پیدا کند. بطوریکه به او اجرازه داده می­شود که مفاهیم آموخته شده­ی جدید را قبول کند.

فرآیند تفکر انتزاعی به شهودی AC حرکت ساده­ی  معکوس شهودی به انتزاعی CA نیست. بلکه حالت بالاتری از تفکر است که بستگی به توانایی استدلال منطقی و انتزاعی دارد. البته فرآیند AC  همچنین زمینه ساز یادگیری مفاهیم و قواعدی است که از یادگیری CA نشات می­گیرد است. به عبارت دیگر تفکر انتزاعی برای اصول هندسی کافی نیست. هر کس باید بتواند این عبارت را بپذیرد.

به طور خلاصه، فرآیند شهودی – انتزاعی شامل تفکر هندسی از کودکان از دیدن تا مرحله­ی رابطه­ای/ انتزاعی ون­هیل می­شود و هنگامی که آنها به این تفکر انتزاعی دست پیدا کردند. با پذیرش فرآیند تفکری انتزاعی- شهودی برای حل مسائل شهودی می­پردازند.

فرآیند AC  از طرفی تفکر استدلالی استنتاجی محسوب می­شود. تفکر استنتاجی یک تفکر از کل به جزء است و در فرآیند حل مسئله عمل می­کند.

نقش معلم در محیط های هندسه پویا

پژوهشگران نقش معلم را در گونه‌هاي متفاوت توصيف كرده‌اند. همان‌طور كه گراوميجر (1989) توضيح مي‌دهد، فرودنتال نقش معلم را نوعي راهنما مي‌داند كه مسير يادگيري را به دانش‌آموزان نشان مي‌دهد. در اين نقش معلم اين امكان را فراهم مي‌كند كه دانش‌آموزان در مسير مشخص‌تري حركت كنند و مفاهيم رياضي را در ذهن خود بپرورانند. شونفلد (1989) نقش معلم را به عنوان يك قدرت فرض مي‌كند و پيشنهاد مي‌دهد كه فرآيند تشخيص و تاييد مطالب بايد در كلاس و مشاركت دانش‌آموزان صورت بگيرد. بال (1993)، چازان و بال (1999)، كلارك (1993) و كالينز، براون و نيومن (1989) نقش معلم را به عنوان تسهيل‌كننده فرآيند پرسش عنوان مي‌كند و معتقدند كه دانش‌آموزان بايد مشاركتي فعال داشته باشند.

در ميان همه اين عقايد همگي بر اين باورند كه معلم صرفاً انتقال‌دهنده علم نيست.

نقش معلم در مدل بروسیو

 بروسیو (1997) در نظريه آموزشي خود دو نقش عمده براي معلمين رياضي ارائه مي‌دهد:

1.       انتقال

2.       نهادينه كردن

او در توصيف فعاليت يادگيري اظهار مي‌كند:

در خلال زماني كه مسئله را بررسي مي‌كند و جواب آن را مي‌دهد معلم از مداخله مي‌پرهيزد و مطالب مورد نظرش را به دانش‌آمو انتقال نمي‌دهد… اين شرايط پيش‌نيازي براي شرايط گسترده‌تر است. در واقع معلم قصد دارد شرايط آموزشي را به دانش‌آموز منتقل كند. دانش‌آموز نيز مستقل مي‌شود و تعامل مفيدي پيدا مي‌كند (ص 30).

در مدل  بروسیو مرحله پس از انتقال، نهادينه كردن نام دارد. در اين مرحله معلم مفهوم‌ها را از منظر خود با دانش‌آموزان سهيم مي‌شود. فرضيه  بروسیو به تمايل طبيعي معلمين براي پيشرفت مهارت‌هايي كه به دانش‌آموزان كمك مي‌كند پر و بال مي‌دهد. در اين فرضيه معلم در مورد آنچه كه به دانش‌آموزان مي‌آموزد هدفمند است (ساترلند و بالاچف، ص 6).

 کارکردهای اثبات از نطر دی­ویلیر

جان دی ویلیر از محققین و مولفین برجسته در هندسه پویا نظریات بساری در ارتباط با ارتباط اثبات در هندسه و یادگیری در محیط های هندسه پویا ارائه داده است.

از نظر وی اثبات کارکردهایی دارد که به ترتیب در زیر آمده است.

1. تصدیق 
   در این مرحله معلم از دانش آموزان می­خواهد گام به گام مسئله را شبیه سازی کنند و صحت عملکرد حکم از پیش تعیین شده را به شکل دینامیکی تصدیق کنند.
2. توضیح دادن
   در این مرحله معلم از دانش آموزان می­خواهد آنچه را که اتفاق افتاده است را توضیح دهند و سعی کنند آنرا توجیه کنند.
3. اکتشاف
   در این مرحله از دانش آموز خواسته می­شود با بررسی چند سوال به بررسی موقعیتهای جدید و کشف روابط جالب و اختصاصی پی ببرند و سعی در توجیه آن داشته باشند.
4. سازمان­دهی
   معلم در این مرحله از دانش آموز می­خواهد به سازمان دهی نتایج مختلف در یک ساختار استنتاجی از فرضیه ها، مفاهیم اصلی و نظریه ها بپردازد.    
5. چالش هوشمندانه 
   حال معلم به ایجاد موقعیت های خاص که برای دانش آموز چالش برانگیز باشد، می­پردازد.
6. برقراری ارتباط
   در نهایت لازم است دانش آموز یافته­های خود را به شکلی مناسب در اختیار دیگران قرار دهد.

پدیده نحوه قرارگیری

در مطالعات صورت گرفته در زمينه‌ی هندسه‌ی ثابت، محققان با در نظر گرفتن خصوصيات اجسام هندسي گرايشي را مد نظر قرار مي‌دهند. اگر تعدادي مثلث بر روي صفحه كاغذ به دانش‌آموزان نشان داده شوند، اين احتمال وجود دارد كه آنها مثلث متساوي‌الساقين را هنگامي كه قاعده‌اش افقي قرار گيرد، بهتر تشخيص دهند همچنين تشخيص مثلث قائم‌الزاويه هنگامي كه رأس قائمه آن موازي با لبه‌ی كاغذ قرار گيرند براي آنها آسانتر خواهد بود. (كلمنتس و بانيستا، 1992 ؛ يروشالمي و چازن، 1993).

هاسواگا (1997) اين يافته‌ها را تحت عنوان “پديده‌ی نحوه­ی قرار گیری” بيان کرد.

همزمان با فعاليت دانش‌آموزان در مدارس در درس هندسه، آنها از اشكال هندسي تصاويري ذهني را به عنوان مدل پایه تجسم مي‌كند. اين تصاوير غالباً قاطع نيستند (به مطالب مكوتيا، 1998 ؛ شيفتر ، 1999 نيز مراجعه فرماييد). به عنوان مثال ممكن است تصويری تك از مثلث متساوي‌الساقين در يك كتاب درسي موجب مي‌شود دانش‌آموزان يك قانون كلي ترتيب دهند و تنها مثلثي را متساوي‌الساقين بدانند كه قاعده‌اش افقي قرار گيرد.

نرم‌افزارهاي هندسه پويا دارای امکاناتی جهت ايجاد تصاوير هندسي متحرک با اندازه‌ها و جهت‌هاي متفاوت است. بدين جهت دانش‌آموزان  تنها يك تصوير را متعلق به شكل هندسي خاصي نمي‌دانند.

در یکی از این نرم افزارها به نام اسکچ پد دانش‌آموزان مي‌توانند با حركت اشكال هندسي به هر مكاني كه مي‌خواهند، اشكال را در حالتهاي بي‌ثبات لرزشی و حركتهاي مداوم در نظر بگيرند. به این ترتیب، درمي‌يابيم كه قابليت حركت در این نوع نرم‌افزارها دانش آموزان را از تعميم ويژگيهاي اشكال ثابت به تمام اشكال هندسي مشابه باز می دارد.

 کنجاوی بعد از حل مسائل

هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌گردد:

• هنـدسه مسطحه
• هندسه فضایی
• هندسه خطی.
• هندسه پویا

در هندسه مسطحه، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعبها، استوانه‌ها، مخروط‌ها، کره‌ها و غیره‌است.

تاریخچه هندسه

واژه انگلیسی( Geometry ) هندسه  از زبان یونانی ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمین و «متری» به معنای اندازه گیری تشکیل شده است.بنابراین هندسه اندازه گیری زمین است. مصریان اولیه نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نیل طغیان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسیل فرا می‌گرفت.
این عمل تمام علایم مرزی میان تقسیمات مختلف را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت‌گذاری زمین‌ها با کمک پایه‌ها و طناب‌ها اختراع کردند. آنها پایه‌‌ای را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند، پایه دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌‌شدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی‌ می‌گشت.
با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال 600 قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار یونانی به نام تالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد.
تالس‌ دلایل ثبوت برخی از فرضیه‌ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشریحی بود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی‌ می‌کرد ، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود.
وی حدود سال 300 قبل از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعة 13 جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند.
براساس این قوانین ، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت.
امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسة تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می کنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقلیدس، فیثاغورث( 572-500 ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون دایره پذیرفت.به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در قرن پنجم میلادی آپاستامبا، در قرن ششم ، آریاب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم ،بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

کلاس‌بندی هندسه

هنـدسه مقـدماتی به دو شاخه تقسیـم می گردد :

• هنـدسه مسطحه
• هندسه فضایی

در هندسه مسطحه ، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی ، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره ها و غیره است.

مدل ون هیل و یادگیری هندسه در محیطهای هندسه پویا

مدل ون هیل همانند مدل های ترتیبی مراحل مختلف رشد پیاژه (1960)  و مراحل تفکر بلوم (1974) ، با در نظر گرفتن گام­های رشد مفاهیم هندسه در فراگیران امکان یادگیری را افزایش داد. چرا که ون هیل در تحقیقات خود متوجه شد که استدلال­های رسمی در هندسه به صورت طبیعی در کودکان اتفاق نمی­افتد و یک نظام تربیتی مورد نیاز است. پنج مرحله­ی تفکر هندسه که وی معرفی کرد شامل تشخیص، تجزیه و تحلیل، استدلال غیر رسمی، استدلال رسمی و بیان ریاضی می­باشد.

به نقل از هوفر (1981) در متون استانداردهای آموزشی هندسه از دانش­آموزان انتظار می­رفت از ابتدا از استدلال­های استنتاجی رسمی استفاده کنند. که خوش بختانه در دهه­ی اخیر برنامه­های درسی در متون هندسه تغییر ایجاد کرده و آن را بهبود بخشیده­اند. بطوریکه با مدل ون هیل سازگار بوده و شامل سه مرحله نخست و فرآیند کشف شده است. چیزی که وعده­ی بزرگتری است این است که به موازات آن توسعه­ی نرم­افزاری هندسه که شامل مدل ون هیل می­شوند امکان ارائه­ی نرم­افزارهای هندسه پویا را فراهم آورده است.

از نظر کولتز (1991) هدف اصلی Sketchpad بر اساس گفته­ی طراحان آن، رشد دانش­آموزان از طریق گذراندن مراحل مدل ون هیل بوده است. کیسین (1995) و مک­کوی (1992) این نسل از نرم­افزارها را تسهیل کننده رسیدن به مراحل سطح بالای تفکر حل مسئله دانسته­اند.

اگر چه بسیاری از تحقیقات پیشین بر Logo و Geometric Supposer متمرکز بوده­اند، کاپوت (1992) پیشنهاد انجام مطالعات هدایت شده­ای را که شامل دو نرم­افزار فوق­العاده Geometer's Sketchpad و  Cabri Geometryمی­شود را ارائه داد.

لازم است این نوع از ابزارهای نرم­افزاری باز-پاسخ مبنایی برای برنامه درسی قرار گیرند.

فرآیند حل مسئله از دیدگاه هایز

هایز (1989) فرآیند حل مسئله را در 6 گام تفکیک می­کند.

1.       مشخص کردن مسئله

2.       ارائه­ی مجدد مسئله

3.       طرح بندی مسئله

4.       اجرای طرح

5.       بررسی درستی طرح

6.       بررسی راه حل

مراحل هایز نشان داد راه اطلاعاتی که در حین فرآیند حل مسئله کمک می­کند و مورد نیاز است که کودک یک مسئله­ی مستقل هندسی را به چند مسئله­ی کوچک تقسیم کند. سپس بعد از بررسی درستی پاسخ به هر مسئله­ی کوچک، آنها راه حل ها را با هم ترکیب کرده تا به یک راه حل بزرگتر در مراحل 5 و 6 برسند.

شرایط نرم افزاهای آموزشی از نظر آرنولد

آرنولد (1996) ابزار نرم­افزاری که نمونه­ای از جنبه­های مثبت فناوری رایانه­ای هستند، را نیازمند شرایط زیر به عنوان یک رسانه آموزشی مفید می­داند.

1.       به جستجو و کاوش­گری بها داده و مورد تشویق قرار دهند.

2.       کاربر را بعنوان عامل کنترل­گر بر تکنولوژی معرفی کنند.

3.       قابلیت­هایی را که به غیر از فن­آوری نمی­توان به آنها دست یافت را ارائه دهند.

4.       به گسترش قابلیت­های ریاضی کاربران کمک کند.

5.       فراگیران را غرق در مفاهیم ریاضی و فعالیت کند.

واژه هندسه (Geometry) از دو واژه يوناني «ژئو» Geo به معناي زمين و «متراين» به معناي اندازه گيري آمده است.

اقليدس (حدود300 قبل از ميلاد)، فيلسوف و رياضيدان ساکن آتن (پايتخت يونان) پس از تحصيل در آکادمي افلاطون به دعوت بطلميوس پسر لاگوس به اسکندريه مهاجرت کرد و مکتب رياضي خود را در آن شهر بنيان نهاد. مهمترين اثر اقليدس که نه به عنوان کتابي درسي و يا تمرين در هندسه محض، بلکه با اهدافي به مراتب متفاوت تر نگاشته شد، «اصول» (Elements) نام دارد که در سيزده جلد نگاشته شده است. اين کتاب يکي از تاثيرگذارترين و مهمترين كتابهاي تاريخ بشر در هندسه به شمار مي رود.

اهداف سه گانه آن بنا بر عقيده کارل پوپر (سمت چپ) (1902-1994) عبارتند از:

1- رفع بحراني که در رياضيات با کشف اعداد گنگ (اصم) پديد آمد (قبلا افلاطون در تيماوس با وارونه کردن نظر فيثاغوريان براي حسابي کردن هندسه، مقدمات اين کار را فراهم کرده بود)؛

2- بازسازي کل رياضيات؛

3- بنا کردن کيهان شناسي بر شالوده هاي هندسي (تا کنون هم بر اين روال عمل ميشود).

روش اقليدس در کتاب «اصول»

روش اقليدس در کتاب اصول، روش اصل موضوعي است. به اين معنا که با استفاده از چند اصل و فرض گرفتن چند مفهوم اوليه به اثبات درستي قضايا و نتايج پرداخته مي شود. براي اين که بتوان در روش اصل موضوعي درستي برهاني را پذيرفت اولا بايد برروي اصول موضوعه و ثانيا برروي قواعد استنتاج، توافق وجود داشته باشد. اقليدس در اين كتاب از تعداد انگشت شماري «اصول موضوع»، تعداد نسبتا قابل توجهي «قضيه» نتيجه گيري ميكند. كار عظيم اقليدس اين بود كه چند اصل ساده و چند حكم را كه بي نياز به توجيه و پذيرفتني بودند، دست چين كرد و از آنها ۴۶۵ گزاره نتيجه گرفت كه بسياري از آنها پيچيده بودند و به طور شهودي، بديهي نبودند و تمام اطلاعات زمان او را در برداشتند. يك دليل بر زيبايي «اصول» اقليدس اين است كه اين همه را از آن اندك نتيجه گرفته است.

مفاهيم اوليه هندسه

اقليدس  همه سعي خود را کرد که تمامي اصطلاحات هندسي را تعريف کند. اما اين کار به فهميدن بيشتر کمک نمي کند و دور يا تسلسل لازم مي آيد (دور در تعريف، دور بي خطري نيست). مثلا سعي مي کند خط مستقيم را اين گونه تعريف کند:  خطي که به نحوي هموار بر نقاطي که بر آن هستند، قرار داشته باشد. اين تعريف خوبي نيست چون بايد براي فهميدن آن، قبلا تصوري از خط داشته باشيد؛ پس يک سري اصطلاحات بعنوان اصطلاحات تعريف نشده در نظر گرفته مي شوند:

نقطه

خط

قرار دارند بر

ميان (مثلا نقطه A ميان دو نقطه ديگر است) و

قابليت انطباق.

فراهم آوردن اين ليست از کارهاي هيلبرت است.

از زمان اقليدس رسم بر اين بود که هندسه به صورت دستگاهي اصل موضوعي و منسجم مورد مطالعه قرار گيرد. رياضيدانان جديد نيز که به گسترش جنبه هاي ديگر پرداختند از اين روش تبعيت مي کردند؛ به طوري که صورت بندي «اقليدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاي فكري بود و پنداشته ميشد كه نظام اقليدس يگانه نظامي است كه امكان پذير است. اين نظام بي چون و چرا توصيفي درست از جهان انگاشته ميشد. هندسه اقليدسي مدلي براي ساختار نظريه هاي علمي بود و نيوتن و ديگر دانشمندان از آن پيروي مي كردند.

فضاي هندسه اقليدسي

هندسه اقليدسي فضايي را مفروض مي گيرد كه هيچ گونه خميدگي و انحنا ندارد. به عبارت ديگر، هندسه اقليدسي براي دستگاهي مشتمل بر خطهاي راست در يك صفحه طرح ريزي شده است اما در عالم واقع يك چنين خطهاي راستي وجود ندارد. بر خلاف هندسه اقليدسي، نظام هندسي لباچفسكي و ريماني اين خميدگي را مفروض مي گيرند (در پستهاي بعدي به آنها اشاره خواهد شد).

اصول هندسه اقليدسي

نظام قياسي هندسه اقليدسي مبتني بر پنج اصل موضوع، پنج اصل متعارفي و چند برابر آنها اصول موضوعه و متعارفي تعريف نشده و همچنين برخي تعاريف بود و قضاياي هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات ميشوند. اين اصول موضوع عبارتند از:
1- از هر نقطه به هر نقطه ديگر مي توان خطي راست کشيد.
2- هر خط راست محدود را مي توان به طور نامحدود و به صورت خط راست ادامه داد.
3- هر نقطه اي و هر طولي داده شوند، مي توان دايره اي کشيد که آن نقطه مرکزش و آن طول شعاعش باشند. يا به عبارت ديگر، مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم کرد.
4- همه زواياي قائمه با هم برابرند.
5- اگر خطي راست دو خط راست ديگر را قطع کند، چنان که مجموع دو زاويه که در يک طرف آن تشکيل مي شوند از دو قائمه کمتر باشد، چون دو خط راست را به اندازه کافي امتداد دهيم، سر انجام در همان طرفي که مجموع زوايا کمتر از دو قائمه است، يکديگر را قطع مي کنند (بيان خود اقليدس).

صورت ديگر اصل موضوعه پنجم اقليدس به اين شکل بيان مي شود: «به ازاي هر خط و نقطه اي خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خط مفروض مي تواند از آن نقطه عبور كند».

معادلهاي اصل پنجم اقليدس:

(الف) اگر يک خط، دو خط موازي را قطع کند، همه زواياي حاده بوجود آمده با هم و همه زواياي منفرجه به وجود آمده با هم مساوي اند.

(ب) مجموع زواياي داخلي يک مثلث 180 درجه است.

 (پ) اگر خطي يک خط موازي را قطع کند، ديگري را هم قطع مي کند.

(ت) هرگاه خطي بر يک خط موازي عمود شود، بر ديگري نيز عمود مي شود.

(ث) هرگاه k و l دو خط موازي باشند و m بر k عمود باشد و n بر l عمود باشد آنگاه يا m=n يا m با n موازي است.

هِندِسه مطالعه انواع روابط طولی و اشکال و خصوصیات آن‌ها است. این دانش همراه با حساب یکی از دو شاخه قدیمی ریاضیات است.

واژه هندسه عربی شده واژه «اندازه» در فارسی است. در زبان انگلیسی به آن geometry و در زبان فرانسه به آن géométrie می‌گویند که هردو از γεωμετρία (گئومتریا) در زبان یونانی آمده که به معنای اندازه‌گیری زمین است.